Lutasin ang {c}{x+y=21}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 21 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=11.5$$

$$y=9.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=21$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+21$$

I-substitute ang -y+21 para sa x sa kabilang equation na 0.25x+0.05y=3.35.

$$0.25\left(-y+21\right)+0.05y=3.35$$

I-multiply ang 0.25 times -y+21.

$$-0.25y+5.25+0.05y=3.35$$

Idagdag ang -\frac{y}{4} sa \frac{y}{20}.

$$-0.2y+5.25=3.35$$

I-subtract ang 5.25 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-0.2y=-1.9$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$y=9.5$$

I-substitute ang 9.5 para sa y sa x=-y+21. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-9.5+21$$

Idagdag ang 21 sa -9.5.

$$x=11.5$$

Nalutas na ang system.

$$x=11.5,y=9.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 21+5\times 3.35\\1.25\times 21-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11.5\\9.5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=11.5,y=9.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Para gawing magkatumbas ang x at \frac{x}{4}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 0.25 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 21,0.25x+0.05y=3.35$$

Pasimplehin.

$$0.25x+0.25y=5.25,0.25x+0.05y=3.35$$

I-subtract ang 0.25x+0.05y=3.35 mula sa 0.25x+0.25y=5.25 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Idagdag ang \frac{x}{4} sa -\frac{x}{4}. Naka-cancel out ang term na \frac{x}{4} at -\frac{x}{4} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Idagdag ang \frac{y}{4} sa -\frac{y}{20}.

$$0.2y=5.25-3.35$$

Idagdag ang 5.25 sa -3.35 sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$0.2y=1.9$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=9.5$$

I-substitute ang 9.5 para sa y sa 0.25x+0.05y=3.35. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$0.25x+0.05\times 9.5=3.35$$

I-multiply ang 0.05 times 9.5 sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$0.25x+0.475=3.35$$

I-subtract ang 0.475 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$0.25x=2.875$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=11.5$$

Nalutas na ang system.

$$x=11.5,y=9.5$$