Lutasin ang {c}{x+y=122}{(y/2-11)-(x-11/2)=18}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 122 } \\ { ( \frac { y } { 2 } - 11 ) - ( \frac { x - 11 } { 2 } ) = 18 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{75}{2} = 37\frac{1}{2} = 37.5$$

$$y = \frac{169}{2} = 84\frac{1}{2} = 84.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng x-11, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$y-22-x+11=36$$

Idagdag ang -22 at 11 para makuha ang -11.

$$y-11-x=36$$

Idagdag ang 11 sa parehong bahagi.

$$y-x=36+11$$

Idagdag ang 36 at 11 para makuha ang 47.

$$y-x=47$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=122$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+122$$

I-substitute ang -y+122 para sa x sa kabilang equation na -x+y=47.

$$-\left(-y+122\right)+y=47$$

I-multiply ang -1 times -y+122.

$$y-122+y=47$$

Idagdag ang y sa y.

$$2y-122=47$$

Idagdag ang 122 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=169$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=\frac{169}{2}$$

I-substitute ang \frac{169}{2} para sa y sa x=-y+122. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{169}{2}+122$$

Idagdag ang 122 sa -\frac{169}{2}.

$$x=\frac{75}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng x-11, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$y-22-x+11=36$$

Idagdag ang -22 at 11 para makuha ang -11.

$$y-11-x=36$$

Idagdag ang 11 sa parehong bahagi.

$$y-x=36+11$$

Idagdag ang 36 at 11 para makuha ang 47.

$$y-x=47$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 122-\frac{1}{2}\times 47\\\frac{1}{2}\times 122+\frac{1}{2}\times 47\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{75}{2}\\\frac{169}{2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng x-11, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$y-22-x+11=36$$

Idagdag ang -22 at 11 para makuha ang -11.

$$y-11-x=36$$

Idagdag ang 11 sa parehong bahagi.

$$y-x=36+11$$

Idagdag ang 36 at 11 para makuha ang 47.

$$y-x=47$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=122,-x+y=47$$

I-subtract ang -x+y=47 mula sa x+y=122 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$x+x+y-y=122-47$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$x+x=122-47$$

Idagdag ang x sa x.

$$2x=122-47$$

Idagdag ang 122 sa -47.

$$2x=75$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{75}{2}$$

I-substitute ang \frac{75}{2} para sa x sa -x+y=47. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$-\frac{75}{2}+y=47$$

Idagdag ang \frac{75}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=\frac{169}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$