Lutasin ang {c}{8x+6y=-10}{-8x-5y=15}

$$\left. \begin{array} { c } { 8 x + 6 y = - 10 } \\ { - 8 x - 5 y = 15 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-5$$

$$y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$8x+6y=-10$$

I-subtract ang 6y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=-6y-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-6y-10\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{8} times -6y-10.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

I-substitute ang \frac{-3y-5}{4} para sa x sa kabilang equation na -8x-5y=15.

$$-8\left(-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}\right)-5y=15$$

I-multiply ang -8 times \frac{-3y-5}{4}.

$$6y+10-5y=15$$

Idagdag ang 6y sa -5y.

$$y+10=15$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{4}\times 5-\frac{5}{4}$$

I-multiply ang -\frac{3}{4} times 5.

$$x=\frac{-15-5}{4}$$

Idagdag ang -\frac{5}{4} sa -\frac{15}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-5$$

Nalutas na ang system.

$$x=-5,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}&-\frac{6}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}&\frac{8}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\left(-10\right)-\frac{3}{4}\times 15\\-10+15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-5,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

Para gawing magkatumbas ang 8x at -8x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -8 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 8.

$$-8\times 8x-8\times 6y=-8\left(-10\right),8\left(-8\right)x+8\left(-5\right)y=8\times 15$$

Pasimplehin.

$$-64x-48y=80,-64x-40y=120$$

I-subtract ang -64x-40y=120 mula sa -64x-48y=80 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-64x+64x-48y+40y=80-120$$

Idagdag ang -64x sa 64x. Naka-cancel out ang term na -64x at 64x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-48y+40y=80-120$$

Idagdag ang -48y sa 40y.

$$-8y=80-120$$

Idagdag ang 80 sa -120.

$$-8y=-40$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa -8x-5y=15. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-8x-5\times 5=15$$

I-multiply ang -5 times 5.

$$-8x-25=15$$

Idagdag ang 25 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-8x=40$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$x=-5$$

Nalutas na ang system.

$$x=-5,y=5$$