Lutasin ang {c}{40x+60y=480}{30x+15y=180}

$$\left. \begin{array} { c } { 40 x + 60 y = 480 } \\ { 30 x + 15 y = 180 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$40x+60y=480$$

I-subtract ang 60y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$40x=-60y+480$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 40.

$$x=\frac{1}{40}\left(-60y+480\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{40} times -60y+480.

$$x=-\frac{3}{2}y+12$$

I-substitute ang -\frac{3y}{2}+12 para sa x sa kabilang equation na 30x+15y=180.

$$30\left(-\frac{3}{2}y+12\right)+15y=180$$

I-multiply ang 30 times -\frac{3y}{2}+12.

$$-45y+360+15y=180$$

Idagdag ang -45y sa 15y.

$$-30y+360=180$$

I-subtract ang 360 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-30y=-180$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -30.

$$y=6$$

I-substitute ang 6 para sa y sa x=-\frac{3}{2}y+12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+12$$

I-multiply ang -\frac{3}{2} times 6.

$$x=-9+12$$

Idagdag ang 12 sa -9.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-60\times 30}&-\frac{60}{40\times 15-60\times 30}\\-\frac{30}{40\times 15-60\times 30}&\frac{40}{40\times 15-60\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 480+\frac{1}{20}\times 180\\\frac{1}{40}\times 480-\frac{1}{30}\times 180\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Para gawing magkatumbas ang 40x at 30x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 30 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 40.

$$30\times 40x+30\times 60y=30\times 480,40\times 30x+40\times 15y=40\times 180$$

Pasimplehin.

$$1200x+1800y=14400,1200x+600y=7200$$

I-subtract ang 1200x+600y=7200 mula sa 1200x+1800y=14400 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$1200x-1200x+1800y-600y=14400-7200$$

Idagdag ang 1200x sa -1200x. Naka-cancel out ang term na 1200x at -1200x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$1800y-600y=14400-7200$$

Idagdag ang 1800y sa -600y.

$$1200y=14400-7200$$

Idagdag ang 14400 sa -7200.

$$1200y=7200$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 1200.

$$y=6$$

I-substitute ang 6 para sa y sa 30x+15y=180. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$30x+15\times 6=180$$

I-multiply ang 15 times 6.

$$30x+90=180$$

I-subtract ang 90 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$30x=90$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 30.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=6$$