Lutasin ang {c}{4x-y=4}{-12x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x - y = 4 } \\ { - 12 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$y=-9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x-y=4$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=y+4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times y+4.

$$x=\frac{1}{4}y+1$$

I-substitute ang \frac{y}{4}+1 para sa x sa kabilang equation na -12x+2y=-3.

$$-12\left(\frac{1}{4}y+1\right)+2y=-3$$

I-multiply ang -12 times \frac{y}{4}+1.

$$-3y-12+2y=-3$$

Idagdag ang -3y sa 2y.

$$-y-12=-3$$

Idagdag ang 12 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-y=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$y=-9$$

I-substitute ang -9 para sa y sa x=\frac{1}{4}y+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9\right)+1$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -9.

$$x=-\frac{9}{4}+1$$

Idagdag ang 1 sa -\frac{9}{4}.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\\-\frac{-12}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-3\times 4-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\\-9\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at -12x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -12 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$-12\times 4x-12\left(-1\right)y=-12\times 4,4\left(-12\right)x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

Pasimplehin.

$$-48x+12y=-48,-48x+8y=-12$$

I-subtract ang -48x+8y=-12 mula sa -48x+12y=-48 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-48x+48x+12y-8y=-48+12$$

Idagdag ang -48x sa 48x. Naka-cancel out ang term na -48x at 48x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$12y-8y=-48+12$$

Idagdag ang 12y sa -8y.

$$4y=-48+12$$

Idagdag ang -48 sa 12.

$$4y=-36$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$y=-9$$

I-substitute ang -9 para sa y sa -12x+2y=-3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-12x+2\left(-9\right)=-3$$

I-multiply ang 2 times -9.

$$-12x-18=-3$$

Idagdag ang 18 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-12x=15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -12.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$