Lutasin ang {c}{3.90x+y=359.70}{-1.80x-y=-131}

$$\left. \begin{array} { c } { 3.90 x + y = 359.70 } \\ { - 1.80 x - y = - 131 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{2287}{21} = 108\frac{19}{21} \approx 108.904761905$$

$$y = -\frac{2276}{35} = -65\frac{1}{35} \approx -65.028571429$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3.9x+y=359.7$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3.9x=-y+359.7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.9, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=\frac{10}{39}\left(-y+359.7\right)$$

I-multiply ang \frac{10}{39} times -y+359.7.

$$x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}$$

I-substitute ang -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13} para sa x sa kabilang equation na -1.8x-y=-131.

$$-1.8\left(-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}\right)-y=-131$$

I-multiply ang -1.8 times -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13}.

$$\frac{6}{13}y-\frac{10791}{65}-y=-131$$

Idagdag ang \frac{6y}{13} sa -y.

$$-\frac{7}{13}y-\frac{10791}{65}=-131$$

Idagdag ang \frac{10791}{65} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{7}{13}y=\frac{2276}{65}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{7}{13}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

I-substitute ang -\frac{2276}{35} para sa y sa x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{10}{39}\left(-\frac{2276}{35}\right)+\frac{1199}{13}$$

I-multiply ang -\frac{10}{39} times -\frac{2276}{35} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{4552}{273}+\frac{1199}{13}$$

Idagdag ang \frac{1199}{13} sa \frac{4552}{273} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{2287}{21}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\\-\frac{-1.8}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&\frac{3.9}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}&\frac{10}{21}\\-\frac{6}{7}&-\frac{13}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}\times 359.7+\frac{10}{21}\left(-131\right)\\-\frac{6}{7}\times 359.7-\frac{13}{7}\left(-131\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2287}{21}\\-\frac{2276}{35}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{39x}{10} at -\frac{9x}{5}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -1.8 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.9.

$$-1.8\times 3.9x-1.8y=-1.8\times 359.7,3.9\left(-1.8\right)x+3.9\left(-1\right)y=3.9\left(-131\right)$$

Pasimplehin.

$$-7.02x-1.8y=-647.46,-7.02x-3.9y=-510.9$$

I-subtract ang -7.02x-3.9y=-510.9 mula sa -7.02x-1.8y=-647.46 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-7.02x+7.02x-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

Idagdag ang -\frac{351x}{50} sa \frac{351x}{50}. Naka-cancel out ang term na -\frac{351x}{50} at \frac{351x}{50} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

Idagdag ang -\frac{9y}{5} sa \frac{39y}{10}.

$$2.1y=-647.46+510.9$$

Idagdag ang -647.46 sa 510.9 sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$2.1y=-136.56$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.1, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

I-substitute ang -\frac{2276}{35} para sa y sa -1.8x-y=-131. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-1.8x-\left(-\frac{2276}{35}\right)=-131$$

I-subtract ang \frac{2276}{35} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-1.8x=-\frac{6861}{35}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.8, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=\frac{2287}{21}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$