Lutasin ang {c}{3x+y+5=0}{-2x-y+1=0}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y + 5 = 0 } \\ { - 2 x - y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-6$$

$$y=13$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+y+5=0$$

I-subtract ang 5 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x+y=-5$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-y-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -y-5.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}$$

I-substitute ang \frac{-y-5}{3} para sa x sa kabilang equation na -2x-y+1=0.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}\right)-y+1=0$$

I-multiply ang -2 times \frac{-y-5}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y+1=0$$

Idagdag ang \frac{2y}{3} sa -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}+1=0$$

Idagdag ang \frac{10}{3} sa 1.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}=0$$

I-subtract ang \frac{13}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{13}{3}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=13$$

I-substitute ang 13 para sa y sa x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{3}\times 13-\frac{5}{3}$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times 13.

$$x=\frac{-13-5}{3}$$

Idagdag ang -\frac{5}{3} sa -\frac{13}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-6$$

Nalutas na ang system.

$$x=-6,y=13$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-1\\-2\left(-5\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\13\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-6,y=13$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at -2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$-2\times 3x-2y-2\times 5=0,3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y+3=0$$

Pasimplehin.

$$-6x-2y-10=0,-6x-3y+3=0$$

I-subtract ang -6x-3y+3=0 mula sa -6x-2y-10=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-6x+6x-2y+3y-10-3=0$$

Idagdag ang -6x sa 6x. Naka-cancel out ang term na -6x at 6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-2y+3y-10-3=0$$

Idagdag ang -2y sa 3y.

$$y-10-3=0$$

Idagdag ang -10 sa -3.

$$y-13=0$$

Idagdag ang 13 sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=13$$

I-substitute ang 13 para sa y sa -2x-y+1=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-2x-13+1=0$$

Idagdag ang -13 sa 1.

$$-2x-12=0$$

Idagdag ang 12 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=-6$$

Nalutas na ang system.

$$x=-6,y=13$$