Lutasin ang {c}{3x+2y=32}{365x+226y=35.92}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { 365 x + 226 y = 35.92 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{44751}{325} = -137\frac{226}{325} \approx -137.695384615$$

$$y = \frac{144653}{650} = 222\frac{353}{650} \approx 222.543076923$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+2y=32,365x+226y=35.92$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+2y=32$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-2y+32$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -2y+32.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

I-substitute ang \frac{-2y+32}{3} para sa x sa kabilang equation na 365x+226y=35.92.

$$365\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+226y=35.92$$

I-multiply ang 365 times \frac{-2y+32}{3}.

$$-\frac{730}{3}y+\frac{11680}{3}+226y=35.92$$

Idagdag ang -\frac{730y}{3} sa 226y.

$$-\frac{52}{3}y+\frac{11680}{3}=35.92$$

I-subtract ang \frac{11680}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{52}{3}y=-\frac{289306}{75}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{52}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{144653}{650}$$

I-substitute ang \frac{144653}{650} para sa y sa x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{144653}{650}+\frac{32}{3}$$

I-multiply ang -\frac{2}{3} times \frac{144653}{650} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{144653}{975}+\frac{32}{3}$$

Idagdag ang \frac{32}{3} sa -\frac{144653}{975} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{44751}{325}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{44751}{325},y=\frac{144653}{650}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+2y=32,365x+226y=35.92$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{226}{3\times 226-2\times 365}&-\frac{2}{3\times 226-2\times 365}\\-\frac{365}{3\times 226-2\times 365}&\frac{3}{3\times 226-2\times 365}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{365}{52}&-\frac{3}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}\times 32+\frac{1}{26}\times 35.92\\\frac{365}{52}\times 32-\frac{3}{52}\times 35.92\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{44751}{325}\\\frac{144653}{650}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{44751}{325},y=\frac{144653}{650}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+2y=32,365x+226y=35.92$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 365x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 365 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$365\times 3x+365\times 2y=365\times 32,3\times 365x+3\times 226y=3\times 35.92$$

Pasimplehin.

$$1095x+730y=11680,1095x+678y=107.76$$

I-subtract ang 1095x+678y=107.76 mula sa 1095x+730y=11680 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$1095x-1095x+730y-678y=11680-107.76$$

Idagdag ang 1095x sa -1095x. Naka-cancel out ang term na 1095x at -1095x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$730y-678y=11680-107.76$$

Idagdag ang 730y sa -678y.

$$52y=11680-107.76$$

Idagdag ang 11680 sa -107.76.

$$52y=11572.24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 52.

$$y=\frac{144653}{650}$$

I-substitute ang \frac{144653}{650} para sa y sa 365x+226y=35.92. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$365x+226\times \frac{144653}{650}=35.92$$

I-multiply ang 226 times \frac{144653}{650}.

$$365x+\frac{16345789}{325}=35.92$$

I-subtract ang \frac{16345789}{325} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$365x=-\frac{3266823}{65}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 365.

$$x=-\frac{44751}{325}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{44751}{325},y=\frac{144653}{650}$$