Lutasin ang {c}{2x+y=5}{-4x+6y=12}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + y = 5 } \\ { - 4 x + 6 y = 12 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} = 1.125$$

$$y = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+y=5$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-y+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -y+5.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

I-substitute ang \frac{-y+5}{2} para sa x sa kabilang equation na -4x+6y=12.

$$-4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=12$$

I-multiply ang -4 times \frac{-y+5}{2}.

$$2y-10+6y=12$$

Idagdag ang 2y sa 6y.

$$8y-10=12$$

Idagdag ang 10 sa magkabilang dulo ng equation.

$$8y=22$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$y=\frac{11}{4}$$

I-substitute ang \frac{11}{4} para sa y sa x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{11}{4}+\frac{5}{2}$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times \frac{11}{4} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{11}{8}+\frac{5}{2}$$

Idagdag ang \frac{5}{2} sa -\frac{11}{8} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{9}{8}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2\times 6-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 6-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 6-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{16}\times 12\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\times 12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8}\\\frac{11}{4}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+y=5,-4x+6y=12$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at -4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$-4\times 2x-4y=-4\times 5,2\left(-4\right)x+2\times 6y=2\times 12$$

Pasimplehin.

$$-8x-4y=-20,-8x+12y=24$$

I-subtract ang -8x+12y=24 mula sa -8x-4y=-20 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-8x+8x-4y-12y=-20-24$$

Idagdag ang -8x sa 8x. Naka-cancel out ang term na -8x at 8x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-4y-12y=-20-24$$

Idagdag ang -4y sa -12y.

$$-16y=-20-24$$

Idagdag ang -20 sa -24.

$$-16y=-44$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -16.

$$y=\frac{11}{4}$$

I-substitute ang \frac{11}{4} para sa y sa -4x+6y=12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-4x+6\times \frac{11}{4}=12$$

I-multiply ang 6 times \frac{11}{4}.

$$-4x+\frac{33}{2}=12$$

I-subtract ang \frac{33}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4x=-\frac{9}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=\frac{9}{8}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{9}{8},y=\frac{11}{4}$$