Lutasin ang {c}{2x+9y=-7}{6x-3y=9}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 9 y = - 7 } \\ { 6 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+9y=-7$$

I-subtract ang 9y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-9y-7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y-7\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -9y-7.

$$x=-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2}$$

I-substitute ang \frac{-9y-7}{2} para sa x sa kabilang equation na 6x-3y=9.

$$6\left(-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2}\right)-3y=9$$

I-multiply ang 6 times \frac{-9y-7}{2}.

$$-27y-21-3y=9$$

Idagdag ang -27y sa -3y.

$$-30y-21=9$$

Idagdag ang 21 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-30y=30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -30.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa x=-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{9}{2}\left(-1\right)-\frac{7}{2}$$

I-multiply ang -\frac{9}{2} times -1.

$$x=\frac{9-7}{2}$$

Idagdag ang -\frac{7}{2} sa \frac{9}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-9\times 6}&-\frac{9}{2\left(-3\right)-9\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-9\times 6}&\frac{2}{2\left(-3\right)-9\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\left(-7\right)+\frac{3}{20}\times 9\\\frac{1}{10}\left(-7\right)-\frac{1}{30}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 6x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$6\times 2x+6\times 9y=6\left(-7\right),2\times 6x+2\left(-3\right)y=2\times 9$$

Pasimplehin.

$$12x+54y=-42,12x-6y=18$$

I-subtract ang 12x-6y=18 mula sa 12x+54y=-42 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$12x-12x+54y+6y=-42-18$$

Idagdag ang 12x sa -12x. Naka-cancel out ang term na 12x at -12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$54y+6y=-42-18$$

Idagdag ang 54y sa 6y.

$$60y=-42-18$$

Idagdag ang -42 sa -18.

$$60y=-60$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 60.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa 6x-3y=9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$6x-3\left(-1\right)=9$$

I-multiply ang -3 times -1.

$$6x+3=9$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=-1$$