Lutasin ang {c}{2x+3y=-10}{x+4y=5}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = - 10 } \\ { x + 4 y = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-11$$

$$y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+3y=-10,x+4y=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+3y=-10$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-3y-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y-10\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -3y-10.

$$x=-\frac{3}{2}y-5$$

I-substitute ang -\frac{3y}{2}-5 para sa x sa kabilang equation na x+4y=5.

$$-\frac{3}{2}y-5+4y=5$$

Idagdag ang -\frac{3y}{2} sa 4y.

$$\frac{5}{2}y-5=5$$

Idagdag ang 5 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{5}{2}y=10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{5}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa x=-\frac{3}{2}y-5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{2}\times 4-5$$

I-multiply ang -\frac{3}{2} times 4.

$$x=-6-5$$

Idagdag ang -5 sa -6.

$$x=-11$$

Nalutas na ang system.

$$x=-11,y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+3y=-10,x+4y=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3}&-\frac{3}{2\times 4-3}\\-\frac{1}{2\times 4-3}&\frac{2}{2\times 4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\left(-10\right)-\frac{3}{5}\times 5\\-\frac{1}{5}\left(-10\right)+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-11,y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+3y=-10,x+4y=5$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$2x+3y=-10,2x+2\times 4y=2\times 5$$

Pasimplehin.

$$2x+3y=-10,2x+8y=10$$

I-subtract ang 2x+8y=10 mula sa 2x+3y=-10 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x+3y-8y=-10-10$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3y-8y=-10-10$$

Idagdag ang 3y sa -8y.

$$-5y=-10-10$$

Idagdag ang -10 sa -10.

$$-5y=-20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa x+4y=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+4\times 4=5$$

I-multiply ang 4 times 4.

$$x+16=5$$

I-subtract ang 16 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-11$$

Nalutas na ang system.

$$x=-11,y=4$$