Lutasin ang {c}{10a+b=10}{-a+b=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 a + b = 10 } \\ { - a + b = 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a=\frac{8}{11}\approx 0.727272727$$

$$b = \frac{30}{11} = 2\frac{8}{11} \approx 2.727272727$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$10a+b=10$$

I-subtract ang b mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$10a=-b+10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$a=\frac{1}{10}\left(-b+10\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{10} times -b+10.

$$a=-\frac{1}{10}b+1$$

I-substitute ang -\frac{b}{10}+1 para sa a sa kabilang equation na -a+b=2.

$$-\left(-\frac{1}{10}b+1\right)+b=2$$

I-multiply ang -1 times -\frac{b}{10}+1.

$$\frac{1}{10}b-1+b=2$$

Idagdag ang \frac{b}{10} sa b.

$$\frac{11}{10}b-1=2$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{11}{10}b=3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{11}{10}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$b=\frac{30}{11}$$

I-substitute ang \frac{30}{11} para sa b sa a=-\frac{1}{10}b+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=-\frac{1}{10}\times \frac{30}{11}+1$$

I-multiply ang -\frac{1}{10} times \frac{30}{11} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a=-\frac{3}{11}+1$$

Idagdag ang 1 sa -\frac{3}{11}.

$$a=\frac{8}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-\left(-1\right)}&-\frac{1}{10-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{10-\left(-1\right)}&\frac{10}{10-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{10}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{1}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 10+\frac{10}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{11}\\\frac{30}{11}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

I-subtract ang -a+b=2 mula sa 10a+b=10 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$10a+a+b-b=10-2$$

Idagdag ang b sa -b. Naka-cancel out ang term na b at -b ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$10a+a=10-2$$

Idagdag ang 10a sa a.

$$11a=10-2$$

Idagdag ang 10 sa -2.

$$11a=8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 11.

$$a=\frac{8}{11}$$

I-substitute ang \frac{8}{11} para sa a sa -a+b=2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang b nang direkta.

$$-\frac{8}{11}+b=2$$

Idagdag ang \frac{8}{11} sa magkabilang dulo ng equation.

$$b=\frac{30}{11}$$

Nalutas na ang system.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$