Lutasin ang {c}{-3x+5y=2}{x+10y=-24}

$$\left. \begin{array} { c } { - 3 x + 5 y = 2 } \\ { x + 10 y = - 24 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-4$$

$$y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-3x+5y=2$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=-5y+2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-5y+2\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times -5y+2.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}$$

I-substitute ang \frac{5y-2}{3} para sa x sa kabilang equation na x+10y=-24.

$$\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}+10y=-24$$

Idagdag ang \frac{5y}{3} sa 10y.

$$\frac{35}{3}y-\frac{2}{3}=-24$$

Idagdag ang \frac{2}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{35}{3}y=-\frac{70}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{35}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa x=\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}$$

I-multiply ang \frac{5}{3} times -2.

$$x=\frac{-10-2}{3}$$

Idagdag ang -\frac{2}{3} sa -\frac{10}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-4$$

Nalutas na ang system.

$$x=-4,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-3\times 10-5}&-\frac{5}{-3\times 10-5}\\-\frac{1}{-3\times 10-5}&-\frac{3}{-3\times 10-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{35}&\frac{3}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\left(-24\right)\\\frac{1}{35}\times 2+\frac{3}{35}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-4,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

Para gawing magkatumbas ang -3x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -3.

$$-3x+5y=2,-3x-3\times 10y=-3\left(-24\right)$$

Pasimplehin.

$$-3x+5y=2,-3x-30y=72$$

I-subtract ang -3x-30y=72 mula sa -3x+5y=2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-3x+3x+5y+30y=2-72$$

Idagdag ang -3x sa 3x. Naka-cancel out ang term na -3x at 3x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$5y+30y=2-72$$

Idagdag ang 5y sa 30y.

$$35y=2-72$$

Idagdag ang 2 sa -72.

$$35y=-70$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 35.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa x+10y=-24. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+10\left(-2\right)=-24$$

I-multiply ang 10 times -2.

$$x-20=-24$$

Idagdag ang 20 sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-4$$

Nalutas na ang system.

$$x=-4,y=-2$$