Lutasin ang {c}{-3x+4y=20}{6x+3y=15}

$$\left. \begin{array} { c } { - 3 x + 4 y = 20 } \\ { 6 x + 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=0$$

$$y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-3x+4y=20,6x+3y=15$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-3x+4y=20$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=-4y+20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4y+20\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times -4y+20.

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}$$

I-substitute ang \frac{-20+4y}{3} para sa x sa kabilang equation na 6x+3y=15.

$$6\left(\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}\right)+3y=15$$

I-multiply ang 6 times \frac{-20+4y}{3}.

$$8y-40+3y=15$$

Idagdag ang 8y sa 3y.

$$11y-40=15$$

Idagdag ang 40 sa magkabilang dulo ng equation.

$$11y=55$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 11.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa x=\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{4}{3}\times 5-\frac{20}{3}$$

I-multiply ang \frac{4}{3} times 5.

$$x=\frac{20-20}{3}$$

Idagdag ang -\frac{20}{3} sa \frac{20}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-3x+4y=20,6x+3y=15$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{-3\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{-3\times 3-4\times 6}&-\frac{3}{-3\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{4}{33}\\\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 20+\frac{4}{33}\times 15\\\frac{2}{11}\times 20+\frac{1}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=0,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-3x+4y=20,6x+3y=15$$

Para gawing magkatumbas ang -3x at 6x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -3.

$$6\left(-3\right)x+6\times 4y=6\times 20,-3\times 6x-3\times 3y=-3\times 15$$

Pasimplehin.

$$-18x+24y=120,-18x-9y=-45$$

I-subtract ang -18x-9y=-45 mula sa -18x+24y=120 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-18x+18x+24y+9y=120+45$$

Idagdag ang -18x sa 18x. Naka-cancel out ang term na -18x at 18x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$24y+9y=120+45$$

Idagdag ang 24y sa 9y.

$$33y=120+45$$

Idagdag ang 120 sa 45.

$$33y=165$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 33.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa 6x+3y=15. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$6x+3\times 5=15$$

I-multiply ang 3 times 5.

$$6x+15=15$$

I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=5$$