Lutasin ang {c}{1/2a+b=-2}{a-2b=8}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 2 } a + b = - 2 } \\ { a - 2 b = 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a=2$$

$$b=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$\frac{1}{2}a+b=-2$$

I-subtract ang b mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{2}a=-b-2$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$a=2\left(-b-2\right)$$

I-multiply ang 2 times -b-2.

$$a=-2b-4$$

I-substitute ang -2b-4 para sa a sa kabilang equation na a-2b=8.

$$-2b-4-2b=8$$

Idagdag ang -2b sa -2b.

$$-4b-4=8$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4b=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$b=-3$$

I-substitute ang -3 para sa b sa a=-2b-4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=-2\left(-3\right)-4$$

I-multiply ang -2 times -3.

$$a=6-4$$

Idagdag ang -4 sa 6.

$$a=2$$

Nalutas na ang system.

$$a=2,b=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=2,b=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{a}{2} at a, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}\left(-2\right)b=\frac{1}{2}\times 8$$

Pasimplehin.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a-b=4$$

I-subtract ang \frac{1}{2}a-b=4 mula sa \frac{1}{2}a+b=-2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}a+b+b=-2-4$$

Idagdag ang \frac{a}{2} sa -\frac{a}{2}. Naka-cancel out ang term na \frac{a}{2} at -\frac{a}{2} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$b+b=-2-4$$

Idagdag ang b sa b.

$$2b=-2-4$$

Idagdag ang -2 sa -4.

$$2b=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$b=-3$$

I-substitute ang -3 para sa b sa a-2b=8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a-2\left(-3\right)=8$$

I-multiply ang -2 times -3.

$$a+6=8$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$a=2$$

Nalutas na ang system.

$$a=2,b=-3$$