Lutasin ang {c}{1/10x+1/2y=1}{2x-10y=-20}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 10 } x + \frac { 1 } { 2 } y = 1 } \\ { 2 x - 10 y = - 20 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1$$

I-subtract ang \frac{y}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{10}x=-\frac{1}{2}y+1$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$x=10\left(-\frac{1}{2}y+1\right)$$

I-multiply ang 10 times -\frac{y}{2}+1.

$$x=-5y+10$$

I-substitute ang -5y+10 para sa x sa kabilang equation na 2x-10y=-20.

$$2\left(-5y+10\right)-10y=-20$$

I-multiply ang 2 times -5y+10.

$$-10y+20-10y=-20$$

Idagdag ang -10y sa -10y.

$$-20y+20=-20$$

I-subtract ang 20 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-20y=-40$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -20.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x=-5y+10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-5\times 2+10$$

I-multiply ang -5 times 2.

$$x=-10+10$$

Idagdag ang 10 sa -10.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}\\-\frac{2}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}&\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&\frac{1}{4}\\1&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5+\frac{1}{4}\left(-20\right)\\1-\frac{1}{20}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=0,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{x}{10} at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang \frac{1}{10}.

$$2\times \frac{1}{10}x+2\times \frac{1}{2}y=2,\frac{1}{10}\times 2x+\frac{1}{10}\left(-10\right)y=\frac{1}{10}\left(-20\right)$$

Pasimplehin.

$$\frac{1}{5}x+y=2,\frac{1}{5}x-y=-2$$

I-subtract ang \frac{1}{5}x-y=-2 mula sa \frac{1}{5}x+y=2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\frac{1}{5}x-\frac{1}{5}x+y+y=2+2$$

Idagdag ang \frac{x}{5} sa -\frac{x}{5}. Naka-cancel out ang term na \frac{x}{5} at -\frac{x}{5} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$y+y=2+2$$

Idagdag ang y sa y.

$$2y=2+2$$

Idagdag ang 2 sa 2.

$$2y=4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa 2x-10y=-20. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x-10\times 2=-20$$

I-multiply ang -10 times 2.

$$2x-20=-20$$

Idagdag ang 20 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=2$$