Lutasin ang {l}{x-2(x+y)=3y-2}{x/3+y/2=3}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ x - 2 ( x + y ) = 3 y - 2 }\\{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 3 }\end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=12$$

$$y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang x+y.

$$x-2x-2y=3y-2$$

Pagsamahin ang x at -2x para makuha ang -x.

$$-x-2y=3y-2$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$-x-2y-3y=-2$$

Pagsamahin ang -2y at -3y para makuha ang -5y.

$$-x-5y=-2$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$2x+3y=18$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-x-5y=-2$$

Idagdag ang 5y sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=5y-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=-\left(5y-2\right)$$

I-multiply ang -1 times 5y-2.

$$x=-5y+2$$

I-substitute ang -5y+2 para sa x sa kabilang equation na 2x+3y=18.

$$2\left(-5y+2\right)+3y=18$$

I-multiply ang 2 times -5y+2.

$$-10y+4+3y=18$$

Idagdag ang -10y sa 3y.

$$-7y+4=18$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-7y=14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa x=-5y+2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-5\left(-2\right)+2$$

I-multiply ang -5 times -2.

$$x=10+2$$

Idagdag ang 2 sa 10.

$$x=12$$

Nalutas na ang system.

$$x=12,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang x+y.

$$x-2x-2y=3y-2$$

Pagsamahin ang x at -2x para makuha ang -x.

$$-x-2y=3y-2$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$-x-2y-3y=-2$$

Pagsamahin ang -2y at -3y para makuha ang -5y.

$$-x-5y=-2$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$2x+3y=18$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-2\right)+\frac{5}{7}\times 18\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)-\frac{1}{7}\times 18\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=12,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang x+y.

$$x-2x-2y=3y-2$$

Pagsamahin ang x at -2x para makuha ang -x.

$$-x-2y=3y-2$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$-x-2y-3y=-2$$

Pagsamahin ang -2y at -3y para makuha ang -5y.

$$-x-5y=-2$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$2x+3y=18$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

Para gawing magkatumbas ang -x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\left(-2\right),-2x-3y=-18$$

Pasimplehin.

$$-2x-10y=-4,-2x-3y=-18$$

I-subtract ang -2x-3y=-18 mula sa -2x-10y=-4 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-2x+2x-10y+3y=-4+18$$

Idagdag ang -2x sa 2x. Naka-cancel out ang term na -2x at 2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-10y+3y=-4+18$$

Idagdag ang -10y sa 3y.

$$-7y=-4+18$$

Idagdag ang -4 sa 18.

$$-7y=14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa 2x+3y=18. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+3\left(-2\right)=18$$

I-multiply ang 3 times -2.

$$2x-6=18$$

Idagdag ang 6 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=12$$

Nalutas na ang system.

$$x=12,y=-2$$