Lutasin ang {l}{x/3+y/4=5/6}{3x+20y/5-frac{8y+1}{3}=frac{12x+16y}{15}}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 5 } { 6 } }\\{ \frac { 3 x + 20 y } { 5 } - \frac { 8 y + 1 } { 3 } = \frac { 12 x + 16 y } { 15 } }\end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 15, ang least common multiple ng 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -5 gamit ang 8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

Pagsamahin ang 60y at -40y para makuha ang 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

I-subtract ang 12x mula sa magkabilang dulo.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

Pagsamahin ang 9x at -12x para makuha ang -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

I-subtract ang 16y mula sa magkabilang dulo.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

Pagsamahin ang 20y at -16y para makuha ang 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

Idagdag ang 5 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$-3x+4y=5$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+3y=10$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-3y+10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -3y+10.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

I-substitute ang -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} para sa x sa kabilang equation na -3x+4y=5.

$$-3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y=5$$

I-multiply ang -3 times -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}.

$$\frac{9}{4}y-\frac{15}{2}+4y=5$$

Idagdag ang \frac{9y}{4} sa 4y.

$$\frac{25}{4}y-\frac{15}{2}=5$$

Idagdag ang \frac{15}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{25}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

I-multiply ang -\frac{3}{4} times 2.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Idagdag ang \frac{5}{2} sa -\frac{3}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 15, ang least common multiple ng 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -5 gamit ang 8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

Pagsamahin ang 60y at -40y para makuha ang 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

I-subtract ang 12x mula sa magkabilang dulo.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

Pagsamahin ang 9x at -12x para makuha ang -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

I-subtract ang 16y mula sa magkabilang dulo.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

Pagsamahin ang 20y at -16y para makuha ang 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

Idagdag ang 5 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$-3x+4y=5$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\times 4-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\times 4-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10-\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 15, ang least common multiple ng 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -5 gamit ang 8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

Pagsamahin ang 60y at -40y para makuha ang 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

I-subtract ang 12x mula sa magkabilang dulo.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

Pagsamahin ang 9x at -12x para makuha ang -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

I-subtract ang 16y mula sa magkabilang dulo.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

Pagsamahin ang 20y at -16y para makuha ang 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

Idagdag ang 5 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$-3x+4y=5$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at -3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 4y=4\times 5$$

Pasimplehin.

$$-12x-9y=-30,-12x+16y=20$$

I-subtract ang -12x+16y=20 mula sa -12x-9y=-30 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-12x+12x-9y-16y=-30-20$$

Idagdag ang -12x sa 12x. Naka-cancel out ang term na -12x at 12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-9y-16y=-30-20$$

Idagdag ang -9y sa -16y.

$$-25y=-30-20$$

Idagdag ang -30 sa -20.

$$-25y=-50$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -25.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa -3x+4y=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-3x+4\times 2=5$$

I-multiply ang 4 times 2.

$$-3x+8=5$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=2$$