Lutasin ang {r}{u-30v=-65}{-3u+80v=165}

$$\left\{ \begin{array} { r } { u - 30 v = - 65 } \\ { - 3 u + 80 v = 165 } \end{array} \right.$$

I-solve ang u, v

$$u=25$$

$$v=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa u sa pamamagitan ng pag-isolate sa u sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$u-30v=-65$$

Idagdag ang 30v sa magkabilang dulo ng equation.

$$u=30v-65$$

I-substitute ang 30v-65 para sa u sa kabilang equation na -3u+80v=165.

$$-3\left(30v-65\right)+80v=165$$

I-multiply ang -3 times 30v-65.

$$-90v+195+80v=165$$

Idagdag ang -90v sa 80v.

$$-10v+195=165$$

I-subtract ang 195 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-10v=-30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$v=3$$

I-substitute ang 3 para sa v sa u=30v-65. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang u nang direkta.

$$u=30\times 3-65$$

I-multiply ang 30 times 3.

$$u=90-65$$

Idagdag ang -65 sa 90.

$$u=25$$

Nalutas na ang system.

$$u=25,v=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&-\frac{-30}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8&-3\\-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\left(-65\right)-3\times 165\\-\frac{3}{10}\left(-65\right)-\frac{1}{10}\times 165\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na u at v.

$$u=25,v=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

Para gawing magkatumbas ang u at -3u, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-3u-3\left(-30\right)v=-3\left(-65\right),-3u+80v=165$$

Pasimplehin.

$$-3u+90v=195,-3u+80v=165$$

I-subtract ang -3u+80v=165 mula sa -3u+90v=195 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-3u+3u+90v-80v=195-165$$

Idagdag ang -3u sa 3u. Naka-cancel out ang term na -3u at 3u ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$90v-80v=195-165$$

Idagdag ang 90v sa -80v.

$$10v=195-165$$

Idagdag ang 195 sa -165.

$$10v=30$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$v=3$$

I-substitute ang 3 para sa v sa -3u+80v=165. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang u nang direkta.

$$-3u+80\times 3=165$$

I-multiply ang 80 times 3.

$$-3u+240=165$$

I-subtract ang 240 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3u=-75$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$u=25$$

Nalutas na ang system.

$$u=25,v=3$$