Lutasin ang {r}{7x+3y=-15}{12y-5x=39}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 7 x + 3 y = - 15 } \\ { 12 y - 5 x = 39 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$7x+3y=-15,-5x+12y=39$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$7x+3y=-15$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=-3y-15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y-15\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{7} times -3y-15.

$$x=-\frac{3}{7}y-\frac{15}{7}$$

I-substitute ang \frac{-3y-15}{7} para sa x sa kabilang equation na -5x+12y=39.

$$-5\left(-\frac{3}{7}y-\frac{15}{7}\right)+12y=39$$

I-multiply ang -5 times \frac{-3y-15}{7}.

$$\frac{15}{7}y+\frac{75}{7}+12y=39$$

Idagdag ang \frac{15y}{7} sa 12y.

$$\frac{99}{7}y+\frac{75}{7}=39$$

I-subtract ang \frac{75}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{99}{7}y=\frac{198}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{99}{7}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x=-\frac{3}{7}y-\frac{15}{7}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{7}\times 2-\frac{15}{7}$$

I-multiply ang -\frac{3}{7} times 2.

$$x=\frac{-6-15}{7}$$

Idagdag ang -\frac{15}{7} sa -\frac{6}{7} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-3$$

Nalutas na ang system.

$$x=-3,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$7x+3y=-15,-5x+12y=39$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7\times 12-3\left(-5\right)}&-\frac{3}{7\times 12-3\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{7\times 12-3\left(-5\right)}&\frac{7}{7\times 12-3\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{33}&-\frac{1}{33}\\\frac{5}{99}&\frac{7}{99}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{33}\left(-15\right)-\frac{1}{33}\times 39\\\frac{5}{99}\left(-15\right)+\frac{7}{99}\times 39\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-3,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$7x+3y=-15,-5x+12y=39$$

Para gawing magkatumbas ang 7x at -5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 7.

$$-5\times 7x-5\times 3y=-5\left(-15\right),7\left(-5\right)x+7\times 12y=7\times 39$$

Pasimplehin.

$$-35x-15y=75,-35x+84y=273$$

I-subtract ang -35x+84y=273 mula sa -35x-15y=75 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-35x+35x-15y-84y=75-273$$

Idagdag ang -35x sa 35x. Naka-cancel out ang term na -35x at 35x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-15y-84y=75-273$$

Idagdag ang -15y sa -84y.

$$-99y=75-273$$

Idagdag ang 75 sa -273.

$$-99y=-198$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -99.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa -5x+12y=39. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-5x+12\times 2=39$$

I-multiply ang 12 times 2.

$$-5x+24=39$$

I-subtract ang 24 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-5x=15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$x=-3$$

Nalutas na ang system.

$$x=-3,y=2$$