Lutasin ang {r}{6x+y=4}{x-4y=19}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 6 x + y = 4 } \\ { x - 4 y = 19 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$y = -\frac{22}{5} = -4\frac{2}{5} = -4.4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$6x+y=4$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=-y+4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-y+4\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{6} times -y+4.

$$x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}$$

I-substitute ang -\frac{y}{6}+\frac{2}{3} para sa x sa kabilang equation na x-4y=19.

$$-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}-4y=19$$

Idagdag ang -\frac{y}{6} sa -4y.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{2}{3}=19$$

I-subtract ang \frac{2}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{25}{6}y=\frac{55}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{25}{6}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{22}{5}$$

I-substitute ang -\frac{22}{5} para sa y sa x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-\frac{22}{5}\right)+\frac{2}{3}$$

I-multiply ang -\frac{1}{6} times -\frac{22}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{11}{15}+\frac{2}{3}$$

Idagdag ang \frac{2}{3} sa \frac{11}{15} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{7}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-1}&-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}\\-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}&\frac{6}{6\left(-4\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{25}&-\frac{6}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 4+\frac{1}{25}\times 19\\\frac{1}{25}\times 4-\frac{6}{25}\times 19\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\\-\frac{22}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

Para gawing magkatumbas ang 6x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 6.

$$6x+y=4,6x+6\left(-4\right)y=6\times 19$$

Pasimplehin.

$$6x+y=4,6x-24y=114$$

I-subtract ang 6x-24y=114 mula sa 6x+y=4 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x+y+24y=4-114$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$y+24y=4-114$$

Idagdag ang y sa 24y.

$$25y=4-114$$

Idagdag ang 4 sa -114.

$$25y=-110$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 25.

$$y=-\frac{22}{5}$$

I-substitute ang -\frac{22}{5} para sa y sa x-4y=19. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x-4\left(-\frac{22}{5}\right)=19$$

I-multiply ang -4 times -\frac{22}{5}.

$$x+\frac{88}{5}=19$$

I-subtract ang \frac{88}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{7}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$