Lutasin ang {r}{5p-q=7}{-2p+3q=5}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang p, q

$$p=2$$

$$q=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa p sa pamamagitan ng pag-isolate sa p sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5p-q=7$$

Idagdag ang q sa magkabilang dulo ng equation.

$$5p=q+7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times q+7.

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

I-substitute ang \frac{7+q}{5} para sa p sa kabilang equation na -2p+3q=5.

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

I-multiply ang -2 times \frac{7+q}{5}.

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

Idagdag ang -\frac{2q}{5} sa 3q.

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

Idagdag ang \frac{14}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{13}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$q=3$$

I-substitute ang 3 para sa q sa p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang p nang direkta.

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 3.

$$p=\frac{3+7}{5}$$

Idagdag ang \frac{7}{5} sa \frac{3}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$p=2$$

Nalutas na ang system.

$$p=2,q=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na p at q.

$$p=2,q=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Para gawing magkatumbas ang 5p at -2p, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

Pasimplehin.

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

I-subtract ang -10p+15q=25 mula sa -10p+2q=-14 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

Idagdag ang -10p sa 10p. Naka-cancel out ang term na -10p at 10p ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2q-15q=-14-25$$

Idagdag ang 2q sa -15q.

$$-13q=-14-25$$

Idagdag ang -14 sa -25.

$$-13q=-39$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -13.

$$q=3$$

I-substitute ang 3 para sa q sa -2p+3q=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang p nang direkta.

$$-2p+3\times 3=5$$

I-multiply ang 3 times 3.

$$-2p+9=5$$

I-subtract ang 9 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2p=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$p=2$$

Nalutas na ang system.

$$p=2,q=3$$