Lutasin ang {r}{4x-2y=6}{-2x+2y=8}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 4 x - 2 y = 6 } \\ { - 2 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=7$$

$$y=11$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x-2y=6,-2x+2y=8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x-2y=6$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=2y+6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+6\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times 6+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

I-substitute ang \frac{3+y}{2} para sa x sa kabilang equation na -2x+2y=8.

$$-2\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+2y=8$$

I-multiply ang -2 times \frac{3+y}{2}.

$$-y-3+2y=8$$

Idagdag ang -y sa 2y.

$$y-3=8$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=11$$

I-substitute ang 11 para sa y sa x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{2}\times 11+\frac{3}{2}$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 11.

$$x=\frac{11+3}{2}$$

Idagdag ang \frac{3}{2} sa \frac{11}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=7$$

Nalutas na ang system.

$$x=7,y=11$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x-2y=6,-2x+2y=8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\times 6+8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=7,y=11$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x-2y=6,-2x+2y=8$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at -2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$-2\times 4x-2\left(-2\right)y=-2\times 6,4\left(-2\right)x+4\times 2y=4\times 8$$

Pasimplehin.

$$-8x+4y=-12,-8x+8y=32$$

I-subtract ang -8x+8y=32 mula sa -8x+4y=-12 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-8x+8x+4y-8y=-12-32$$

Idagdag ang -8x sa 8x. Naka-cancel out ang term na -8x at 8x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$4y-8y=-12-32$$

Idagdag ang 4y sa -8y.

$$-4y=-12-32$$

Idagdag ang -12 sa -32.

$$-4y=-44$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$y=11$$

I-substitute ang 11 para sa y sa -2x+2y=8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-2x+2\times 11=8$$

I-multiply ang 2 times 11.

$$-2x+22=8$$

I-subtract ang 22 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=-14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=7$$

Nalutas na ang system.

$$x=7,y=11$$