Lutasin ang {r}{2x+5y=9}{x-y=5}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 2 x + 5 y = 9 } \\ { x - y = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{34}{7} = 4\frac{6}{7} \approx 4.857142857$$

$$y=-\frac{1}{7}\approx -0.142857143$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+5y=9,x-y=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+5y=9$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-5y+9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+9\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -5y+9.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}$$

I-substitute ang \frac{-5y+9}{2} para sa x sa kabilang equation na x-y=5.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}-y=5$$

Idagdag ang -\frac{5y}{2} sa -y.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{9}{2}=5$$

I-subtract ang \frac{9}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{7}{2}y=\frac{1}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{7}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{1}{7}$$

I-substitute ang -\frac{1}{7} para sa y sa x=-\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-\frac{1}{7}\right)+\frac{9}{2}$$

I-multiply ang -\frac{5}{2} times -\frac{1}{7} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{5}{14}+\frac{9}{2}$$

Idagdag ang \frac{9}{2} sa \frac{5}{14} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{34}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{34}{7},y=-\frac{1}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+5y=9,x-y=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-5}&-\frac{5}{2\left(-1\right)-5}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-5}&\frac{2}{2\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 9+\frac{5}{7}\times 5\\\frac{1}{7}\times 9-\frac{2}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{34}{7}\\-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{34}{7},y=-\frac{1}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+5y=9,x-y=5$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$2x+5y=9,2x+2\left(-1\right)y=2\times 5$$

Pasimplehin.

$$2x+5y=9,2x-2y=10$$

I-subtract ang 2x-2y=10 mula sa 2x+5y=9 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x+5y+2y=9-10$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$5y+2y=9-10$$

Idagdag ang 5y sa 2y.

$$7y=9-10$$

Idagdag ang 9 sa -10.

$$7y=-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$y=-\frac{1}{7}$$

I-substitute ang -\frac{1}{7} para sa y sa x-y=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x-\left(-\frac{1}{7}\right)=5$$

I-subtract ang \frac{1}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{34}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{34}{7},y=-\frac{1}{7}$$