Lutasin ang {r}{3x-2y/3+4y=13/3}{2(-2y+x)/3-3x/2=-frac{13}{6}}

$$\left\{ \begin{array} { r } { \frac { 3 x - 2 y } { 3 } + 4 y = \frac { 13 } { 3 } } \\ { \frac { 2 ( - 2 y + x ) } { 3 } - \frac { 3 x } { 2 } = - \frac { 13 } { 6 } } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$3x-2y+12y=13$$

Pagsamahin ang -2y at 12y para makuha ang 10y.

$$3x+10y=13$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2,6.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

I-multiply ang 2 at 2 para makuha ang 4.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang -2y+x.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

I-multiply ang -3 at 3 para makuha ang -9.

$$-8y+4x-9x=-13$$

Pagsamahin ang 4x at -9x para makuha ang -5x.

$$-8y-5x=-13$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+10y=13$$

I-subtract ang 10y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-10y+13$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+13\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -10y+13.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}$$

I-substitute ang \frac{-10y+13}{3} para sa x sa kabilang equation na -5x-8y=-13.

$$-5\left(-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}\right)-8y=-13$$

I-multiply ang -5 times \frac{-10y+13}{3}.

$$\frac{50}{3}y-\frac{65}{3}-8y=-13$$

Idagdag ang \frac{50y}{3} sa -8y.

$$\frac{26}{3}y-\frac{65}{3}=-13$$

Idagdag ang \frac{65}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{26}{3}y=\frac{26}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{26}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{-10+13}{3}$$

Idagdag ang \frac{13}{3} sa -\frac{10}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$3x-2y+12y=13$$

Pagsamahin ang -2y at 12y para makuha ang 10y.

$$3x+10y=13$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2,6.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

I-multiply ang 2 at 2 para makuha ang 4.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang -2y+x.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

I-multiply ang -3 at 3 para makuha ang -9.

$$-8y+4x-9x=-13$$

Pagsamahin ang 4x at -9x para makuha ang -5x.

$$-8y-5x=-13$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\\frac{5}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\times 13-\frac{5}{13}\left(-13\right)\\\frac{5}{26}\times 13+\frac{3}{26}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$3x-2y+12y=13$$

Pagsamahin ang -2y at 12y para makuha ang 10y.

$$3x+10y=13$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2,6.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

I-multiply ang 2 at 2 para makuha ang 4.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang -2y+x.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

I-multiply ang -3 at 3 para makuha ang -9.

$$-8y+4x-9x=-13$$

Pagsamahin ang 4x at -9x para makuha ang -5x.

$$-8y-5x=-13$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at -5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$-5\times 3x-5\times 10y=-5\times 13,3\left(-5\right)x+3\left(-8\right)y=3\left(-13\right)$$

Pasimplehin.

$$-15x-50y=-65,-15x-24y=-39$$

I-subtract ang -15x-24y=-39 mula sa -15x-50y=-65 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-15x+15x-50y+24y=-65+39$$

Idagdag ang -15x sa 15x. Naka-cancel out ang term na -15x at 15x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-50y+24y=-65+39$$

Idagdag ang -50y sa 24y.

$$-26y=-65+39$$

Idagdag ang -65 sa 39.

$$-26y=-26$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -26.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa -5x-8y=-13. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-5x-8=-13$$

Idagdag ang 8 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-5x=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=1$$