Lutasin ang {l}{y=x-18}{y=15x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = x - 18 } \\ { y = 15 x } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x = -\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7} \approx -1.285714286$$

$$y = -\frac{135}{7} = -19\frac{2}{7} \approx -19.285714286$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=-18$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 15x mula sa magkabilang dulo.

$$y-15x=0$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-x=-18,y-15x=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-x=-18$$

Idagdag ang x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=x-18$$

I-substitute ang x-18 para sa y sa kabilang equation na y-15x=0.

$$x-18-15x=0$$

Idagdag ang x sa -15x.

$$-14x-18=0$$

Idagdag ang 18 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-14x=18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -14.

$$x=-\frac{9}{7}$$

I-substitute ang -\frac{9}{7} para sa x sa y=x-18. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=-\frac{9}{7}-18$$

Idagdag ang -18 sa -\frac{9}{7}.

$$y=-\frac{135}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{135}{7},x=-\frac{9}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=-18$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 15x mula sa magkabilang dulo.

$$y-15x=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-x=-18,y-15x=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-15-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-15-\left(-1\right)}&\frac{1}{-15-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{14}&-\frac{1}{14}\\\frac{1}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{14}\left(-18\right)\\\frac{1}{14}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{135}{7}\\-\frac{9}{7}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-\frac{135}{7},x=-\frac{9}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=-18$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 15x mula sa magkabilang dulo.

$$y-15x=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-x=-18,y-15x=0$$

I-subtract ang y-15x=0 mula sa y-x=-18 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y-x+15x=-18$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-x+15x=-18$$

Idagdag ang -x sa 15x.

$$14x=-18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 14.

$$x=-\frac{9}{7}$$

I-substitute ang -\frac{9}{7} para sa x sa y-15x=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y-15\left(-\frac{9}{7}\right)=0$$

I-multiply ang -15 times -\frac{9}{7}.

$$y+\frac{135}{7}=0$$

I-subtract ang \frac{135}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-\frac{135}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{135}{7},x=-\frac{9}{7}$$