Lutasin ang {l}{y=kx+2}{y=2x+k}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + 2 } \\ { y = 2 x + k } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=1\text{, }y=k+2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{y-2}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&k=2\end{matrix}\right.$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang kx mula sa magkabilang dulo.

$$y-kx=2$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=k$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y+\left(-k\right)x=2$$

Idagdag ang kx sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=kx+2$$

I-substitute ang kx+2 para sa y sa kabilang equation na y-2x=k.

$$kx+2-2x=k$$

Idagdag ang kx sa -2x.

$$\left(k-2\right)x+2=k$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(k-2\right)x=k-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang k-2.

$$x=1$$

I-substitute ang 1 para sa x sa y=kx+2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=k+2$$

Nalutas na ang system.

$$y=k+2,x=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang kx mula sa magkabilang dulo.

$$y-kx=2$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=k$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-k\right)}&-\frac{-k}{-2-\left(-k\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-k\right)}&\frac{1}{-2-\left(-k\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{k-2}&\frac{k}{k-2}\\-\frac{1}{k-2}&\frac{1}{k-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{2}{k-2}\right)\times 2+\frac{k}{k-2}k\\\left(-\frac{1}{k-2}\right)\times 2+\frac{1}{k-2}k\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k+2\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=k+2,x=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang kx mula sa magkabilang dulo.

$$y-kx=2$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=k$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

I-subtract ang y-2x=k mula sa y+\left(-k\right)x=2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y+\left(-k\right)x+2x=2-k$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\left(-k\right)x+2x=2-k$$

Idagdag ang -kx sa 2x.

$$\left(2-k\right)x=2-k$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -k+2.

$$x=1$$

I-substitute ang 1 para sa x sa y-2x=k. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y-2=k$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=k+2$$

Nalutas na ang system.

$$y=k+2,x=1$$

I-solve ang x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=1\text{, }y=k+2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{y-2}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&k=2\end{matrix}\right.$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang kx mula sa magkabilang dulo.

$$y-kx=2$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=k$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y+\left(-k\right)x=2$$

Idagdag ang kx sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=kx+2$$

I-substitute ang kx+2 para sa y sa kabilang equation na y-2x=k.

$$kx+2-2x=k$$

Idagdag ang kx sa -2x.

$$\left(k-2\right)x+2=k$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(k-2\right)x=k-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang k-2.

$$x=1$$

I-substitute ang 1 para sa x sa y=kx+2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=k+2$$

Nalutas na ang system.

$$y=k+2,x=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang kx mula sa magkabilang dulo.

$$y-kx=2$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=k$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-k\right)}&-\frac{-k}{-2-\left(-k\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-k\right)}&\frac{1}{-2-\left(-k\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{k-2}&\frac{k}{k-2}\\-\frac{1}{k-2}&\frac{1}{k-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\k\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{2}{k-2}\right)\times 2+\frac{k}{k-2}k\\\left(-\frac{1}{k-2}\right)\times 2+\frac{1}{k-2}k\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k+2\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=k+2,x=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang kx mula sa magkabilang dulo.

$$y-kx=2$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=k$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y+\left(-k\right)x=2,y-2x=k$$

I-subtract ang y-2x=k mula sa y+\left(-k\right)x=2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y+\left(-k\right)x+2x=2-k$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\left(-k\right)x+2x=2-k$$

Idagdag ang -kx sa 2x.

$$\left(2-k\right)x=2-k$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -k+2.

$$x=1$$

I-substitute ang 1 para sa x sa y-2x=k. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y-2=k$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=k+2$$

Nalutas na ang system.

$$y=k+2,x=1$$