Lutasin ang {l}{y=4x+5}{4x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { 4 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

$$y=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 4x mula sa magkabilang dulo.

$$y-4x=5$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-4x=5$$

Idagdag ang 4x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=4x+5$$

I-substitute ang 4x+5 para sa y sa kabilang equation na -3y+4x=3.

$$-3\left(4x+5\right)+4x=3$$

I-multiply ang -3 times 4x+5.

$$-12x-15+4x=3$$

Idagdag ang -12x sa 4x.

$$-8x-15=3$$

Idagdag ang 15 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-8x=18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$x=-\frac{9}{4}$$

I-substitute ang -\frac{9}{4} para sa x sa y=4x+5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=4\left(-\frac{9}{4}\right)+5$$

I-multiply ang 4 times -\frac{9}{4}.

$$y=-9+5$$

Idagdag ang 5 sa -9.

$$y=-4$$

Nalutas na ang system.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 4x mula sa magkabilang dulo.

$$y-4x=5$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&-\frac{-4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 4x mula sa magkabilang dulo.

$$y-4x=5$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

Para gawing magkatumbas ang y at -3y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-3y-3\left(-4\right)x=-3\times 5,-3y+4x=3$$

Pasimplehin.

$$-3y+12x=-15,-3y+4x=3$$

I-subtract ang -3y+4x=3 mula sa -3y+12x=-15 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-3y+3y+12x-4x=-15-3$$

Idagdag ang -3y sa 3y. Naka-cancel out ang term na -3y at 3y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$12x-4x=-15-3$$

Idagdag ang 12x sa -4x.

$$8x=-15-3$$

Idagdag ang -15 sa -3.

$$8x=-18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=-\frac{9}{4}$$

I-substitute ang -\frac{9}{4} para sa x sa -3y+4x=3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$-3y+4\left(-\frac{9}{4}\right)=3$$

I-multiply ang 4 times -\frac{9}{4}.

$$-3y-9=3$$

Idagdag ang 9 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3y=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=-4$$

Nalutas na ang system.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$