Lutasin ang {l}{y=3x-5}{y=2x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x - 5 } \\ { y = 2 x } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=5$$

$$y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=-5$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=0$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-3x=-5,y-2x=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-3x=-5$$

Idagdag ang 3x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=3x-5$$

I-substitute ang 3x-5 para sa y sa kabilang equation na y-2x=0.

$$3x-5-2x=0$$

Idagdag ang 3x sa -2x.

$$x-5=0$$

Idagdag ang 5 sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=5$$

I-substitute ang 5 para sa x sa y=3x-5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=3\times 5-5$$

I-multiply ang 3 times 5.

$$y=15-5$$

Idagdag ang -5 sa 15.

$$y=10$$

Nalutas na ang system.

$$y=10,x=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=-5$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-3x=-5,y-2x=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-3\right)}&\frac{1}{-2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-5\right)\\-\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=10,x=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=-5$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-3x=-5,y-2x=0$$

I-subtract ang y-2x=0 mula sa y-3x=-5 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y-3x+2x=-5$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-3x+2x=-5$$

Idagdag ang -3x sa 2x.

$$-x=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=5$$

I-substitute ang 5 para sa x sa y-2x=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y-2\times 5=0$$

I-multiply ang -2 times 5.

$$y-10=0$$

Idagdag ang 10 sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=10$$

Nalutas na ang system.

$$y=10,x=5$$