Lutasin ang {l}{y=3x-2}{5x+4y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x - 2 } \\ { 5 x + 4 y = 9 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=-2$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-3x=-2$$

Idagdag ang 3x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=3x-2$$

I-substitute ang 3x-2 para sa y sa kabilang equation na 4y+5x=9.

$$4\left(3x-2\right)+5x=9$$

I-multiply ang 4 times 3x-2.

$$12x-8+5x=9$$

Idagdag ang 12x sa 5x.

$$17x-8=9$$

Idagdag ang 8 sa magkabilang dulo ng equation.

$$17x=17$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 17.

$$x=1$$

I-substitute ang 1 para sa x sa y=3x-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=3-2$$

Idagdag ang -2 sa 3.

$$y=1$$

Nalutas na ang system.

$$y=1,x=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=-2$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{1}{5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\left(-2\right)+\frac{3}{17}\times 9\\-\frac{4}{17}\left(-2\right)+\frac{1}{17}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=1,x=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$y-3x=-2$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

Para gawing magkatumbas ang y at 4y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$4y+4\left(-3\right)x=4\left(-2\right),4y+5x=9$$

Pasimplehin.

$$4y-12x=-8,4y+5x=9$$

I-subtract ang 4y+5x=9 mula sa 4y-12x=-8 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$4y-4y-12x-5x=-8-9$$

Idagdag ang 4y sa -4y. Naka-cancel out ang term na 4y at -4y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-12x-5x=-8-9$$

Idagdag ang -12x sa -5x.

$$-17x=-8-9$$

Idagdag ang -8 sa -9.

$$-17x=-17$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -17.

$$x=1$$

I-substitute ang 1 para sa x sa 4y+5x=9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$4y+5=9$$

I-subtract ang 5 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4y=4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$y=1$$

Nalutas na ang system.

$$y=1,x=1$$