Lutasin ang {l}{y=-4x-3}{y=-2x+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 4 x - 3 } \\ { y = - 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=-2$$

$$y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 4x sa parehong bahagi.

$$y+4x=-3$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 2x sa parehong bahagi.

$$y+2x=1$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y+4x=-3,y+2x=1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y+4x=-3$$

I-subtract ang 4x mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-4x-3$$

I-substitute ang -4x-3 para sa y sa kabilang equation na y+2x=1.

$$-4x-3+2x=1$$

Idagdag ang -4x sa 2x.

$$-2x-3=1$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=-2$$

I-substitute ang -2 para sa x sa y=-4x-3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=-4\left(-2\right)-3$$

I-multiply ang -4 times -2.

$$y=8-3$$

Idagdag ang -3 sa 8.

$$y=5$$

Nalutas na ang system.

$$y=5,x=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 4x sa parehong bahagi.

$$y+4x=-3$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 2x sa parehong bahagi.

$$y+2x=1$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y+4x=-3,y+2x=1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{4}{2-4}\\-\frac{1}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)+2\\\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=5,x=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 4x sa parehong bahagi.

$$y+4x=-3$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 2x sa parehong bahagi.

$$y+2x=1$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y+4x=-3,y+2x=1$$

I-subtract ang y+2x=1 mula sa y+4x=-3 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y+4x-2x=-3-1$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$4x-2x=-3-1$$

Idagdag ang 4x sa -2x.

$$2x=-3-1$$

Idagdag ang -3 sa -1.

$$2x=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=-2$$

I-substitute ang -2 para sa x sa y+2x=1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y+2\left(-2\right)=1$$

I-multiply ang 2 times -2.

$$y-4=1$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=5$$

Nalutas na ang system.

$$y=5,x=-2$$