Lutasin ang {l}{y=-4/6x-5}{8x+5y=-45}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 4 } { 6 } x - 5 } \\ { 8 x + 5 y = - 45 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

$$y = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7} \approx -2.142857143$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Bawasan ang fraction \frac{4}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

I-substitute ang -\frac{2x}{3}-5 para sa y sa kabilang equation na 5y+8x=-45.

$$5\left(-\frac{2}{3}x-5\right)+8x=-45$$

I-multiply ang 5 times -\frac{2x}{3}-5.

$$-\frac{10}{3}x-25+8x=-45$$

Idagdag ang -\frac{10x}{3} sa 8x.

$$\frac{14}{3}x-25=-45$$

Idagdag ang 25 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{14}{3}x=-20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{14}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-\frac{30}{7}$$

I-substitute ang -\frac{30}{7} para sa x sa y=-\frac{2}{3}x-5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=-\frac{2}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)-5$$

I-multiply ang -\frac{2}{3} times -\frac{30}{7} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=\frac{20}{7}-5$$

Idagdag ang -5 sa \frac{20}{7}.

$$y=-\frac{15}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Bawasan ang fraction \frac{4}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Idagdag ang \frac{2}{3}x sa parehong bahagi.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{2}{3}\times 5}&-\frac{\frac{2}{3}}{8-\frac{2}{3}\times 5}\\-\frac{5}{8-\frac{2}{3}\times 5}&\frac{1}{8-\frac{2}{3}\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{14}\left(-5\right)+\frac{3}{14}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Bawasan ang fraction \frac{4}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Idagdag ang \frac{2}{3}x sa parehong bahagi.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

Para gawing magkatumbas ang y at 5y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$5y+5\times \frac{2}{3}x=5\left(-5\right),5y+8x=-45$$

Pasimplehin.

$$5y+\frac{10}{3}x=-25,5y+8x=-45$$

I-subtract ang 5y+8x=-45 mula sa 5y+\frac{10}{3}x=-25 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$5y-5y+\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

Idagdag ang 5y sa -5y. Naka-cancel out ang term na 5y at -5y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

Idagdag ang \frac{10x}{3} sa -8x.

$$-\frac{14}{3}x=-25+45$$

Idagdag ang -25 sa 45.

$$-\frac{14}{3}x=20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{14}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-\frac{30}{7}$$

I-substitute ang -\frac{30}{7} para sa x sa 5y+8x=-45. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$5y+8\left(-\frac{30}{7}\right)=-45$$

I-multiply ang 8 times -\frac{30}{7}.

$$5y-\frac{240}{7}=-45$$

Idagdag ang \frac{240}{7} sa magkabilang dulo ng equation.

$$5y=-\frac{75}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=-\frac{15}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$