Lutasin ang {l}{y=-3/4x+3/4}{y=4/3x+11/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 3 } { 4 } x + \frac { 3 } { 4 } } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x + \frac { 11 } { 3 } } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang \frac{3}{4}x sa parehong bahagi.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{4}{3}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

I-subtract ang \frac{3x}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}$$

I-substitute ang \frac{-3x+3}{4} para sa y sa kabilang equation na y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Idagdag ang -\frac{3x}{4} sa -\frac{4x}{3}.

$$-\frac{25}{12}x+\frac{3}{4}=\frac{11}{3}$$

I-subtract ang \frac{3}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{25}{12}x=\frac{35}{12}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{25}{12}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-\frac{7}{5}$$

I-substitute ang -\frac{7}{5} para sa x sa y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=-\frac{3}{4}\left(-\frac{7}{5}\right)+\frac{3}{4}$$

I-multiply ang -\frac{3}{4} times -\frac{7}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=\frac{21}{20}+\frac{3}{4}$$

Idagdag ang \frac{3}{4} sa \frac{21}{20} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=\frac{9}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang \frac{3}{4}x sa parehong bahagi.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{4}{3}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}&-\frac{\frac{3}{4}}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{25}&\frac{9}{25}\\\frac{12}{25}&-\frac{12}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{25}\times \frac{3}{4}+\frac{9}{25}\times \frac{11}{3}\\\frac{12}{25}\times \frac{3}{4}-\frac{12}{25}\times \frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang \frac{3}{4}x sa parehong bahagi.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{4}{3}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

I-subtract ang y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3} mula sa y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4} sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y+\frac{3}{4}x+\frac{4}{3}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{3}{4}x+\frac{4}{3}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

Idagdag ang \frac{3x}{4} sa \frac{4x}{3}.

$$\frac{25}{12}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

Idagdag ang \frac{3}{4} sa -\frac{11}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$\frac{25}{12}x=-\frac{35}{12}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{25}{12}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-\frac{7}{5}$$

I-substitute ang -\frac{7}{5} para sa x sa y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y-\frac{4}{3}\left(-\frac{7}{5}\right)=\frac{11}{3}$$

I-multiply ang -\frac{4}{3} times -\frac{7}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y+\frac{28}{15}=\frac{11}{3}$$

I-subtract ang \frac{28}{15} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=\frac{9}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$