Lutasin ang {l}{y=-4/5x-9}{y=-8x/3-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { - 4 } { 5 } x - 9 } \\ { y = - \frac { 8 x } { 3 } - 15 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x = -\frac{45}{14} = -3\frac{3}{14} \approx -3.214285714$$

$$y = -\frac{45}{7} = -6\frac{3}{7} \approx -6.428571429$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Maaaring maisulat muli ang fraction na \frac{-4}{5} bilang -\frac{4}{5} sa pamamagitan ng pag-extract sa negative sign.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

I-substitute ang -\frac{4x}{5}-9 para sa y sa kabilang equation na 3y+8x=-45.

$$3\left(-\frac{4}{5}x-9\right)+8x=-45$$

I-multiply ang 3 times -\frac{4x}{5}-9.

$$-\frac{12}{5}x-27+8x=-45$$

Idagdag ang -\frac{12x}{5} sa 8x.

$$\frac{28}{5}x-27=-45$$

Idagdag ang 27 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{28}{5}x=-18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{28}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-\frac{45}{14}$$

I-substitute ang -\frac{45}{14} para sa x sa y=-\frac{4}{5}x-9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{45}{14}\right)-9$$

I-multiply ang -\frac{4}{5} times -\frac{45}{14} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=\frac{18}{7}-9$$

Idagdag ang -9 sa \frac{18}{7}.

$$y=-\frac{45}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Maaaring maisulat muli ang fraction na \frac{-4}{5} bilang -\frac{4}{5} sa pamamagitan ng pag-extract sa negative sign.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Idagdag ang \frac{4}{5}x sa parehong bahagi.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang \frac{8x}{3} sa parehong bahagi.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$3y+8x=-45$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{4}{5}\times 3}&-\frac{\frac{4}{5}}{8-\frac{4}{5}\times 3}\\-\frac{3}{8-\frac{4}{5}\times 3}&\frac{1}{8-\frac{4}{5}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{28}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\left(-9\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{28}\left(-9\right)+\frac{5}{28}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{45}{7}\\-\frac{45}{14}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Maaaring maisulat muli ang fraction na \frac{-4}{5} bilang -\frac{4}{5} sa pamamagitan ng pag-extract sa negative sign.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Idagdag ang \frac{4}{5}x sa parehong bahagi.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang \frac{8x}{3} sa parehong bahagi.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$3y+8x=-45$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

Para gawing magkatumbas ang y at 3y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$3y+3\times \frac{4}{5}x=3\left(-9\right),3y+8x=-45$$

Pasimplehin.

$$3y+\frac{12}{5}x=-27,3y+8x=-45$$

I-subtract ang 3y+8x=-45 mula sa 3y+\frac{12}{5}x=-27 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3y-3y+\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

Idagdag ang 3y sa -3y. Naka-cancel out ang term na 3y at -3y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

Idagdag ang \frac{12x}{5} sa -8x.

$$-\frac{28}{5}x=-27+45$$

Idagdag ang -27 sa 45.

$$-\frac{28}{5}x=18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{28}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-\frac{45}{14}$$

I-substitute ang -\frac{45}{14} para sa x sa 3y+8x=-45. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$3y+8\left(-\frac{45}{14}\right)=-45$$

I-multiply ang 8 times -\frac{45}{14}.

$$3y-\frac{180}{7}=-45$$

Idagdag ang \frac{180}{7} sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y=-\frac{135}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=-\frac{45}{7}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$