Lutasin ang {l}{x_{1}+x_{2}=97}{frac{x_{2}}{x_{1}}=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 97 } \\ { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x_1, x_2

$$x_{1} = \frac{97}{3} = 32\frac{1}{3} \approx 32.333333333$$

$$x_{2} = \frac{194}{3} = 64\frac{2}{3} \approx 64.666666667$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Ang variable x_{1} ay hindi katumbas ng 0 dahil hindi tukoy ang division by zero. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

I-subtract ang 2x_{1} mula sa magkabilang dulo.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x_{1} sa pamamagitan ng pag-isolate sa x_{1} sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x_{1}+x_{2}=97$$

I-subtract ang x_{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x_{1}=-x_{2}+97$$

I-substitute ang -x_{2}+97 para sa x_{1} sa kabilang equation na -2x_{1}+x_{2}=0.

$$-2\left(-x_{2}+97\right)+x_{2}=0$$

I-multiply ang -2 times -x_{2}+97.

$$2x_{2}-194+x_{2}=0$$

Idagdag ang 2x_{2} sa x_{2}.

$$3x_{2}-194=0$$

Idagdag ang 194 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x_{2}=194$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

I-substitute ang \frac{194}{3} para sa x_{2} sa x_{1}=-x_{2}+97. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x_{1} nang direkta.

$$x_{1}=-\frac{194}{3}+97$$

Idagdag ang 97 sa -\frac{194}{3}.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Ang variable x_{1} ay hindi katumbas ng 0 dahil hindi tukoy ang division by zero. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

I-subtract ang 2x_{1} mula sa magkabilang dulo.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 97\\\frac{2}{3}\times 97\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{97}{3}\\\frac{194}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x_{1} at x_{2}.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Ang variable x_{1} ay hindi katumbas ng 0 dahil hindi tukoy ang division by zero. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

I-subtract ang 2x_{1} mula sa magkabilang dulo.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

I-subtract ang -2x_{1}+x_{2}=0 mula sa x_{1}+x_{2}=97 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$x_{1}+2x_{1}+x_{2}-x_{2}=97$$

Idagdag ang x_{2} sa -x_{2}. Naka-cancel out ang term na x_{2} at -x_{2} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$x_{1}+2x_{1}=97$$

Idagdag ang x_{1} sa 2x_{1}.

$$3x_{1}=97$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

I-substitute ang \frac{97}{3} para sa x_{1} sa -2x_{1}+x_{2}=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x_{2} nang direkta.

$$-2\times \frac{97}{3}+x_{2}=0$$

I-multiply ang -2 times \frac{97}{3}.

$$-\frac{194}{3}+x_{2}=0$$

Idagdag ang \frac{194}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$