Lutasin ang {l}{x-y=10}{2x+(2y+1/2)=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + ( 2 y + \frac { 1 } { 2 } ) = 200 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{439}{8} = 54\frac{7}{8} = 54.875$$

$$y = \frac{359}{8} = 44\frac{7}{8} = 44.875$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x-y=10$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=y+10$$

I-substitute ang y+10 para sa x sa kabilang equation na 2x+2y+\frac{1}{2}=200.

$$2\left(y+10\right)+2y+\frac{1}{2}=200$$

I-multiply ang 2 times y+10.

$$2y+20+2y+\frac{1}{2}=200$$

Idagdag ang 2y sa 2y.

$$4y+20+\frac{1}{2}=200$$

Idagdag ang 20 sa \frac{1}{2}.

$$4y+\frac{41}{2}=200$$

I-subtract ang \frac{41}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4y=\frac{359}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$y=\frac{359}{8}$$

I-substitute ang \frac{359}{8} para sa y sa x=y+10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{359}{8}+10$$

Idagdag ang 10 sa \frac{359}{8}.

$$x=\frac{439}{8}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\\-\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{439}{8}\\\frac{359}{8}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Para gawing magkatumbas ang x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Pasimplehin.

$$2x-2y=20,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

I-subtract ang 2x+2y+\frac{1}{2}=200 mula sa 2x-2y=20 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

Idagdag ang -2y sa -2y.

$$-4y-\frac{1}{2}=20-200$$

Idagdag ang 20 sa -200.

$$-4y-\frac{1}{2}=-180$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4y=-\frac{359}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$y=\frac{359}{8}$$

I-substitute ang \frac{359}{8} para sa y sa 2x+2y+\frac{1}{2}=200. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+2\times \frac{359}{8}+\frac{1}{2}=200$$

I-multiply ang 2 times \frac{359}{8}.

$$2x+\frac{359}{4}+\frac{1}{2}=200$$

Idagdag ang \frac{359}{4} sa \frac{1}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$2x+\frac{361}{4}=200$$

I-subtract ang \frac{361}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=\frac{439}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{439}{8}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$