Lutasin ang {l}{x-4y=5}{-2x-y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 4 y = 5 } \\ { - 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x-4y=5,-2x-y=-4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x-4y=5$$

Idagdag ang 4y sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=4y+5$$

I-substitute ang 4y+5 para sa x sa kabilang equation na -2x-y=-4.

$$-2\left(4y+5\right)-y=-4$$

I-multiply ang -2 times 4y+5.

$$-8y-10-y=-4$$

Idagdag ang -8y sa -y.

$$-9y-10=-4$$

Idagdag ang 10 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-9y=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -9.

$$y=-\frac{2}{3}$$

I-substitute ang -\frac{2}{3} para sa y sa x=4y+5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=4\left(-\frac{2}{3}\right)+5$$

I-multiply ang 4 times -\frac{2}{3}.

$$x=-\frac{8}{3}+5$$

Idagdag ang 5 sa -\frac{8}{3}.

$$x=\frac{7}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{2}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x-4y=5,-2x-y=-4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}&-\frac{-4}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 5-\frac{4}{9}\left(-4\right)\\-\frac{2}{9}\times 5-\frac{1}{9}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{2}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x-4y=5,-2x-y=-4$$

Para gawing magkatumbas ang x at -2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-2x-2\left(-4\right)y=-2\times 5,-2x-y=-4$$

Pasimplehin.

$$-2x+8y=-10,-2x-y=-4$$

I-subtract ang -2x-y=-4 mula sa -2x+8y=-10 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-2x+2x+8y+y=-10+4$$

Idagdag ang -2x sa 2x. Naka-cancel out ang term na -2x at 2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$8y+y=-10+4$$

Idagdag ang 8y sa y.

$$9y=-10+4$$

Idagdag ang -10 sa 4.

$$9y=-6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$y=-\frac{2}{3}$$

I-substitute ang -\frac{2}{3} para sa y sa -2x-y=-4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-2x-\left(-\frac{2}{3}\right)=-4$$

I-subtract ang \frac{2}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=-\frac{14}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=\frac{7}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{2}{3}$$