Lutasin ang {l}{x-4y=1}{2x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 4 y = 1 } \\ { 2 x + y = 16 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{65}{9} = 7\frac{2}{9} \approx 7.222222222$$

$$y = \frac{14}{9} = 1\frac{5}{9} \approx 1.555555556$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x-4y=1,2x+y=16$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x-4y=1$$

Idagdag ang 4y sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=4y+1$$

I-substitute ang 4y+1 para sa x sa kabilang equation na 2x+y=16.

$$2\left(4y+1\right)+y=16$$

I-multiply ang 2 times 4y+1.

$$8y+2+y=16$$

Idagdag ang 8y sa y.

$$9y+2=16$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$9y=14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$y=\frac{14}{9}$$

I-substitute ang \frac{14}{9} para sa y sa x=4y+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=4\times \frac{14}{9}+1$$

I-multiply ang 4 times \frac{14}{9}.

$$x=\frac{56}{9}+1$$

Idagdag ang 1 sa \frac{56}{9}.

$$x=\frac{65}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{65}{9},y=\frac{14}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x-4y=1,2x+y=16$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{1-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-4\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}+\frac{4}{9}\times 16\\-\frac{2}{9}+\frac{1}{9}\times 16\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{65}{9}\\\frac{14}{9}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{65}{9},y=\frac{14}{9}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x-4y=1,2x+y=16$$

Para gawing magkatumbas ang x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$2x+2\left(-4\right)y=2,2x+y=16$$

Pasimplehin.

$$2x-8y=2,2x+y=16$$

I-subtract ang 2x+y=16 mula sa 2x-8y=2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x-8y-y=2-16$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-8y-y=2-16$$

Idagdag ang -8y sa -y.

$$-9y=2-16$$

Idagdag ang 2 sa -16.

$$-9y=-14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -9.

$$y=\frac{14}{9}$$

I-substitute ang \frac{14}{9} para sa y sa 2x+y=16. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+\frac{14}{9}=16$$

I-subtract ang \frac{14}{9} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=\frac{130}{9}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{65}{9}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{65}{9},y=\frac{14}{9}$$