Lutasin ang {l}{x-3y=4}{5x+3y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 y = 4 } \\ { 5 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x-3y=4$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=3y+4$$

I-substitute ang 3y+4 para sa x sa kabilang equation na 5x+3y=-1.

$$5\left(3y+4\right)+3y=-1$$

I-multiply ang 5 times 3y+4.

$$15y+20+3y=-1$$

Idagdag ang 15y sa 3y.

$$18y+20=-1$$

I-subtract ang 20 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$18y=-21$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 18.

$$y=-\frac{7}{6}$$

I-substitute ang -\frac{7}{6} para sa y sa x=3y+4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=3\left(-\frac{7}{6}\right)+4$$

I-multiply ang 3 times -\frac{7}{6}.

$$x=-\frac{7}{2}+4$$

Idagdag ang 4 sa -\frac{7}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{5}{18}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{5}{18}\times 4+\frac{1}{18}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x-3y=4,5x+3y=-1$$

Para gawing magkatumbas ang x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$5x+5\left(-3\right)y=5\times 4,5x+3y=-1$$

Pasimplehin.

$$5x-15y=20,5x+3y=-1$$

I-subtract ang 5x+3y=-1 mula sa 5x-15y=20 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$5x-5x-15y-3y=20+1$$

Idagdag ang 5x sa -5x. Naka-cancel out ang term na 5x at -5x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-15y-3y=20+1$$

Idagdag ang -15y sa -3y.

$$-18y=20+1$$

Idagdag ang 20 sa 1.

$$-18y=21$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -18.

$$y=-\frac{7}{6}$$

I-substitute ang -\frac{7}{6} para sa y sa 5x+3y=-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x+3\left(-\frac{7}{6}\right)=-1$$

I-multiply ang 3 times -\frac{7}{6}.

$$5x-\frac{7}{2}=-1$$

Idagdag ang \frac{7}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=\frac{5}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$