Lutasin ang {l}{x-25=3(y+25)}{x+y=120}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 25 = 3 ( y + 25 ) } \\ { x + y = 120 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=115$$

$$y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang y+25.

$$x-25=3y+75$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$x-25-3y=75$$

Idagdag ang 25 sa parehong bahagi.

$$x-3y=75+25$$

Idagdag ang 75 at 25 para makuha ang 100.

$$x-3y=100$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x-3y=100,x+y=120$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x-3y=100$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=3y+100$$

I-substitute ang 3y+100 para sa x sa kabilang equation na x+y=120.

$$3y+100+y=120$$

Idagdag ang 3y sa y.

$$4y+100=120$$

I-subtract ang 100 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4y=20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa x=3y+100. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=3\times 5+100$$

I-multiply ang 3 times 5.

$$x=15+100$$

Idagdag ang 100 sa 15.

$$x=115$$

Nalutas na ang system.

$$x=115,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang y+25.

$$x-25=3y+75$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$x-25-3y=75$$

Idagdag ang 25 sa parehong bahagi.

$$x-3y=75+25$$

Idagdag ang 75 at 25 para makuha ang 100.

$$x-3y=100$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x-3y=100,x+y=120$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 100+\frac{3}{4}\times 120\\-\frac{1}{4}\times 100+\frac{1}{4}\times 120\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}115\\5\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=115,y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang y+25.

$$x-25=3y+75$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$x-25-3y=75$$

Idagdag ang 25 sa parehong bahagi.

$$x-3y=75+25$$

Idagdag ang 75 at 25 para makuha ang 100.

$$x-3y=100$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x-3y=100,x+y=120$$

I-subtract ang x+y=120 mula sa x-3y=100 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$x-x-3y-y=100-120$$

Idagdag ang x sa -x. Naka-cancel out ang term na x at -x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-3y-y=100-120$$

Idagdag ang -3y sa -y.

$$-4y=100-120$$

Idagdag ang 100 sa -120.

$$-4y=-20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$y=5$$

I-substitute ang 5 para sa y sa x+y=120. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+5=120$$

I-subtract ang 5 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=115$$

Nalutas na ang system.

$$x=115,y=5$$