Lutasin ang {l}{x(1-2x)-y(1-y)=(y-sqrt{2}x)(y+sqrt{2}x)+3}{2x-(2y-1/4)^2+161/16=(2y+3)(3-2y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ( 1 - 2 x ) - y ( 1 - y ) = ( y - \sqrt { 2 } x ) ( y + \sqrt { 2 } x ) + 3 } \\ { 2 x - ( 2 y - \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } + 16 \frac { 1 } { 16 } = ( 2 y + 3 ) ( 3 - 2 y ) } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$y = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x gamit ang 1-2x.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang y gamit ang 1-y.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng y-y^{2}, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Isaalang-alang ang \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). Maaaring ma-transform ang pag-multiply sa difference ng mga square gamit ang rule na: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

Palawakin ang \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

Ang square ng \sqrt{2} ay 2.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

I-subtract ang y^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

Pagsamahin ang y^{2} at -y^{2} para makuha ang 0.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

Idagdag ang 2x^{2} sa parehong bahagi.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

Pagsamahin ang -2x^{2} at 2x^{2} para makuha ang 0.

$$x-y=3$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 16.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng 4y^{2}-y+\frac{1}{16}, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 16 gamit ang 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

I-multiply ang 16 at 16 para makuha ang 256.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Idagdag ang -1 at 256 para makuha ang 255.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Idagdag ang 255 at 1 para makuha ang 256.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 16 gamit ang 2y+3.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 32y+48 sa 3-2y at para pagsamahin ang magkakatulad na term.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

Idagdag ang 64y^{2} sa parehong bahagi.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

Pagsamahin ang -64y^{2} at 64y^{2} para makuha ang 0.

$$32x+16y+256=144$$

I-subtract ang 256 mula sa magkabilang dulo.

$$32x+16y=144-256$$

I-subtract ang 256 mula sa 144 para makuha ang -112.

$$32x+16y=-112$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x-y=3$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=y+3$$

I-substitute ang y+3 para sa x sa kabilang equation na 32x+16y=-112.

$$32\left(y+3\right)+16y=-112$$

I-multiply ang 32 times y+3.

$$32y+96+16y=-112$$

Idagdag ang 32y sa 16y.

$$48y+96=-112$$

I-subtract ang 96 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$48y=-208$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 48.

$$y=-\frac{13}{3}$$

I-substitute ang -\frac{13}{3} para sa y sa x=y+3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{13}{3}+3$$

Idagdag ang 3 sa -\frac{13}{3}.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x gamit ang 1-2x.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang y gamit ang 1-y.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng y-y^{2}, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Isaalang-alang ang \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). Maaaring ma-transform ang pag-multiply sa difference ng mga square gamit ang rule na: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

Palawakin ang \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

Ang square ng \sqrt{2} ay 2.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

I-subtract ang y^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

Pagsamahin ang y^{2} at -y^{2} para makuha ang 0.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

Idagdag ang 2x^{2} sa parehong bahagi.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

Pagsamahin ang -2x^{2} at 2x^{2} para makuha ang 0.

$$x-y=3$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 16.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng 4y^{2}-y+\frac{1}{16}, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 16 gamit ang 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

I-multiply ang 16 at 16 para makuha ang 256.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Idagdag ang -1 at 256 para makuha ang 255.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Idagdag ang 255 at 1 para makuha ang 256.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 16 gamit ang 2y+3.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 32y+48 sa 3-2y at para pagsamahin ang magkakatulad na term.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

Idagdag ang 64y^{2} sa parehong bahagi.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

Pagsamahin ang -64y^{2} at 64y^{2} para makuha ang 0.

$$32x+16y+256=144$$

I-subtract ang 256 mula sa magkabilang dulo.

$$32x+16y=144-256$$

I-subtract ang 256 mula sa 144 para makuha ang -112.

$$32x+16y=-112$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{16-\left(-32\right)}&-\frac{-1}{16-\left(-32\right)}\\-\frac{32}{16-\left(-32\right)}&\frac{1}{16-\left(-32\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{48}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\\-\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang x gamit ang 1-2x.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang y gamit ang 1-y.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng y-y^{2}, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

Isaalang-alang ang \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). Maaaring ma-transform ang pag-multiply sa difference ng mga square gamit ang rule na: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

Palawakin ang \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

Ang square ng \sqrt{2} ay 2.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

I-subtract ang y^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

Pagsamahin ang y^{2} at -y^{2} para makuha ang 0.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

Idagdag ang 2x^{2} sa parehong bahagi.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

Pagsamahin ang -2x^{2} at 2x^{2} para makuha ang 0.

$$x-y=3$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 16.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng 4y^{2}-y+\frac{1}{16}, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 16 gamit ang 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

I-multiply ang 16 at 16 para makuha ang 256.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Idagdag ang -1 at 256 para makuha ang 255.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Idagdag ang 255 at 1 para makuha ang 256.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 16 gamit ang 2y+3.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 32y+48 sa 3-2y at para pagsamahin ang magkakatulad na term.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

Idagdag ang 64y^{2} sa parehong bahagi.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

Pagsamahin ang -64y^{2} at 64y^{2} para makuha ang 0.

$$32x+16y+256=144$$

I-subtract ang 256 mula sa magkabilang dulo.

$$32x+16y=144-256$$

I-subtract ang 256 mula sa 144 para makuha ang -112.

$$32x+16y=-112$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

Para gawing magkatumbas ang x at 32x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 32 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$32x+32\left(-1\right)y=32\times 3,32x+16y=-112$$

Pasimplehin.

$$32x-32y=96,32x+16y=-112$$

I-subtract ang 32x+16y=-112 mula sa 32x-32y=96 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$32x-32x-32y-16y=96+112$$

Idagdag ang 32x sa -32x. Naka-cancel out ang term na 32x at -32x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-32y-16y=96+112$$

Idagdag ang -32y sa -16y.

$$-48y=96+112$$

Idagdag ang 96 sa 112.

$$-48y=208$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -48.

$$y=-\frac{13}{3}$$

I-substitute ang -\frac{13}{3} para sa y sa 32x+16y=-112. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$32x+16\left(-\frac{13}{3}\right)=-112$$

I-multiply ang 16 times -\frac{13}{3}.

$$32x-\frac{208}{3}=-112$$

Idagdag ang \frac{208}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$32x=-\frac{128}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 32.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$