Lutasin ang {l}{x=-1/4y+5}{3x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - \frac { 1 } { 4 } y + 5 } \\ { 3 x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=8$$

$$y=-12$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang \frac{1}{4}y sa parehong bahagi.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

I-subtract ang \frac{y}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-\frac{1}{4}y+5$$

I-substitute ang -\frac{y}{4}+5 para sa x sa kabilang equation na 3x+2y=0.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+5\right)+2y=0$$

I-multiply ang 3 times -\frac{y}{4}+5.

$$-\frac{3}{4}y+15+2y=0$$

Idagdag ang -\frac{3y}{4} sa 2y.

$$\frac{5}{4}y+15=0$$

I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{5}{4}y=-15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{5}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-12$$

I-substitute ang -12 para sa y sa x=-\frac{1}{4}y+5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-12\right)+5$$

I-multiply ang -\frac{1}{4} times -12.

$$x=3+5$$

Idagdag ang 5 sa 3.

$$x=8$$

Nalutas na ang system.

$$x=8,y=-12$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang \frac{1}{4}y sa parehong bahagi.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\frac{1}{4}\times 3}&-\frac{\frac{1}{4}}{2-\frac{1}{4}\times 3}\\-\frac{3}{2-\frac{1}{4}\times 3}&\frac{1}{2-\frac{1}{4}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\times 5\\-\frac{12}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=8,y=-12$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang \frac{1}{4}y sa parehong bahagi.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

Para gawing magkatumbas ang x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$3x+3\times \frac{1}{4}y=3\times 5,3x+2y=0$$

Pasimplehin.

$$3x+\frac{3}{4}y=15,3x+2y=0$$

I-subtract ang 3x+2y=0 mula sa 3x+\frac{3}{4}y=15 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3x-3x+\frac{3}{4}y-2y=15$$

Idagdag ang 3x sa -3x. Naka-cancel out ang term na 3x at -3x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{3}{4}y-2y=15$$

Idagdag ang \frac{3y}{4} sa -2y.

$$-\frac{5}{4}y=15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{5}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-12$$

I-substitute ang -12 para sa y sa 3x+2y=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+2\left(-12\right)=0$$

I-multiply ang 2 times -12.

$$3x-24=0$$

Idagdag ang 24 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=8$$

Nalutas na ang system.

$$x=8,y=-12$$