Lutasin ang {l}{x=3/4y}{y=8/9x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = \frac { 3 } { 4 } y } \\ { y = \frac { 8 } { 9 } x - 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-9$$

$$y=-12$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang \frac{3}{4}y mula sa magkabilang dulo.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{8}{9}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Idagdag ang \frac{3y}{4} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{3}{4}y$$

I-substitute ang \frac{3y}{4} para sa x sa kabilang equation na -\frac{8}{9}x+y=-4.

$$-\frac{8}{9}\times \frac{3}{4}y+y=-4$$

I-multiply ang -\frac{8}{9} times \frac{3y}{4}.

$$-\frac{2}{3}y+y=-4$$

Idagdag ang -\frac{2y}{3} sa y.

$$\frac{1}{3}y=-4$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=-12$$

I-substitute ang -12 para sa y sa x=\frac{3}{4}y. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

I-multiply ang \frac{3}{4} times -12.

$$x=-9$$

Nalutas na ang system.

$$x=-9,y=-12$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang \frac{3}{4}y mula sa magkabilang dulo.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{8}{9}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{8}{9}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&\frac{9}{4}\\\frac{8}{3}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\left(-4\right)\\3\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-9,y=-12$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang \frac{3}{4}y mula sa magkabilang dulo.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{8}{9}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Para gawing magkatumbas ang x at -\frac{8x}{9}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -\frac{8}{9} at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-\frac{8}{9}x-\frac{8}{9}\left(-\frac{3}{4}\right)y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

Pasimplehin.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

I-subtract ang -\frac{8}{9}x+y=-4 mula sa -\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y-y=4$$

Idagdag ang -\frac{8x}{9} sa \frac{8x}{9}. Naka-cancel out ang term na -\frac{8x}{9} at \frac{8x}{9} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{2}{3}y-y=4$$

Idagdag ang \frac{2y}{3} sa -y.

$$-\frac{1}{3}y=4$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=-12$$

I-substitute ang -12 para sa y sa -\frac{8}{9}x+y=-4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-\frac{8}{9}x-12=-4$$

Idagdag ang 12 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{8}{9}x=8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{8}{9}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-9$$

Nalutas na ang system.

$$x=-9,y=-12$$