Lutasin ang {l}{x+y=5}{y=-2x+7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 5 } \\ { y = - 2 x + 7 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 2x sa parehong bahagi.

$$y+2x=7$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=5,2x+y=7$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=5$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+5$$

I-substitute ang -y+5 para sa x sa kabilang equation na 2x+y=7.

$$2\left(-y+5\right)+y=7$$

I-multiply ang 2 times -y+5.

$$-2y+10+y=7$$

Idagdag ang -2y sa y.

$$-y+10=7$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-y=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x=-y+5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-3+5$$

Idagdag ang 5 sa -3.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 2x sa parehong bahagi.

$$y+2x=7$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=5,2x+y=7$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5+7\\2\times 5-7\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 2x sa parehong bahagi.

$$y+2x=7$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=5,2x+y=7$$

I-subtract ang 2x+y=7 mula sa x+y=5 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$x-2x+y-y=5-7$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$x-2x=5-7$$

Idagdag ang x sa -2x.

$$-x=5-7$$

Idagdag ang 5 sa -7.

$$-x=-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=2$$

I-substitute ang 2 para sa x sa 2x+y=7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$2\times 2+y=7$$

I-multiply ang 2 times 2.

$$4+y=7$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=3$$