Lutasin ang {l}{x+y=45}{18x+120y=6000}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 45 } \\ { 18 x + 120 y = 6000 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{100}{17} = -5\frac{15}{17} \approx -5.882352941$$

$$y = \frac{865}{17} = 50\frac{15}{17} \approx 50.882352941$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=45$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+45$$

I-substitute ang -y+45 para sa x sa kabilang equation na 18x+120y=6000.

$$18\left(-y+45\right)+120y=6000$$

I-multiply ang 18 times -y+45.

$$-18y+810+120y=6000$$

Idagdag ang -18y sa 120y.

$$102y+810=6000$$

I-subtract ang 810 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$102y=5190$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 102.

$$y=\frac{865}{17}$$

I-substitute ang \frac{865}{17} para sa y sa x=-y+45. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{865}{17}+45$$

Idagdag ang 45 sa -\frac{865}{17}.

$$x=-\frac{100}{17}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{120}{120-18}&-\frac{1}{120-18}\\-\frac{18}{120-18}&\frac{1}{120-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}&-\frac{1}{102}\\-\frac{3}{17}&\frac{1}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}\times 45-\frac{1}{102}\times 6000\\-\frac{3}{17}\times 45+\frac{1}{102}\times 6000\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{100}{17}\\\frac{865}{17}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

Para gawing magkatumbas ang x at 18x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 18 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$18x+18y=18\times 45,18x+120y=6000$$

Pasimplehin.

$$18x+18y=810,18x+120y=6000$$

I-subtract ang 18x+120y=6000 mula sa 18x+18y=810 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$18x-18x+18y-120y=810-6000$$

Idagdag ang 18x sa -18x. Naka-cancel out ang term na 18x at -18x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$18y-120y=810-6000$$

Idagdag ang 18y sa -120y.

$$-102y=810-6000$$

Idagdag ang 810 sa -6000.

$$-102y=-5190$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -102.

$$y=\frac{865}{17}$$

I-substitute ang \frac{865}{17} para sa y sa 18x+120y=6000. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$18x+120\times \frac{865}{17}=6000$$

I-multiply ang 120 times \frac{865}{17}.

$$18x+\frac{103800}{17}=6000$$

I-subtract ang \frac{103800}{17} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$18x=-\frac{1800}{17}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 18.

$$x=-\frac{100}{17}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$