Lutasin ang {l}{x+y=36}{5/7=x/y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 36 } \\ { \frac { 5 } { 7 } = \frac { x } { y } } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=15$$

$$y=21$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng 0 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 7y, ang least common multiple ng 7,y.

$$5y=7x$$

I-subtract ang 7x mula sa magkabilang dulo.

$$5y-7x=0$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=36$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+36$$

I-substitute ang -y+36 para sa x sa kabilang equation na -7x+5y=0.

$$-7\left(-y+36\right)+5y=0$$

I-multiply ang -7 times -y+36.

$$7y-252+5y=0$$

Idagdag ang 7y sa 5y.

$$12y-252=0$$

Idagdag ang 252 sa magkabilang dulo ng equation.

$$12y=252$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12.

$$y=21$$

I-substitute ang 21 para sa y sa x=-y+36. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-21+36$$

Idagdag ang 36 sa -21.

$$x=15$$

Nalutas na ang system.

$$x=15,y=21$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng 0 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 7y, ang least common multiple ng 7,y.

$$5y=7x$$

I-subtract ang 7x mula sa magkabilang dulo.

$$5y-7x=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-7\right)}&-\frac{1}{5-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{5-\left(-7\right)}&\frac{1}{5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 36\\\frac{7}{12}\times 36\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\21\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=15,y=21$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng 0 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 7y, ang least common multiple ng 7,y.

$$5y=7x$$

I-subtract ang 7x mula sa magkabilang dulo.

$$5y-7x=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

Para gawing magkatumbas ang x at -7x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-7x-7y=-7\times 36,-7x+5y=0$$

Pasimplehin.

$$-7x-7y=-252,-7x+5y=0$$

I-subtract ang -7x+5y=0 mula sa -7x-7y=-252 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-7x+7x-7y-5y=-252$$

Idagdag ang -7x sa 7x. Naka-cancel out ang term na -7x at 7x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-7y-5y=-252$$

Idagdag ang -7y sa -5y.

$$-12y=-252$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -12.

$$y=21$$

I-substitute ang 21 para sa y sa -7x+5y=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-7x+5\times 21=0$$

I-multiply ang 5 times 21.

$$-7x+105=0$$

I-subtract ang 105 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-7x=-105$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$x=15$$

Nalutas na ang system.

$$x=15,y=21$$