Lutasin ang {l}{x+y=30}{20x+25y=690}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 30 } \\ { 20 x + 25 y = 690 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=12$$

$$y=18$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=30,20x+25y=690$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=30$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+30$$

I-substitute ang -y+30 para sa x sa kabilang equation na 20x+25y=690.

$$20\left(-y+30\right)+25y=690$$

I-multiply ang 20 times -y+30.

$$-20y+600+25y=690$$

Idagdag ang -20y sa 25y.

$$5y+600=690$$

I-subtract ang 600 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$5y=90$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=18$$

I-substitute ang 18 para sa y sa x=-y+30. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-18+30$$

Idagdag ang 30 sa -18.

$$x=12$$

Nalutas na ang system.

$$x=12,y=18$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=30,20x+25y=690$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{25-20}&-\frac{1}{25-20}\\-\frac{20}{25-20}&\frac{1}{25-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-\frac{1}{5}\\-4&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\690\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 30-\frac{1}{5}\times 690\\-4\times 30+\frac{1}{5}\times 690\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=12,y=18$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=30,20x+25y=690$$

Para gawing magkatumbas ang x at 20x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 20 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$20x+20y=20\times 30,20x+25y=690$$

Pasimplehin.

$$20x+20y=600,20x+25y=690$$

I-subtract ang 20x+25y=690 mula sa 20x+20y=600 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$20x-20x+20y-25y=600-690$$

Idagdag ang 20x sa -20x. Naka-cancel out ang term na 20x at -20x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$20y-25y=600-690$$

Idagdag ang 20y sa -25y.

$$-5y=600-690$$

Idagdag ang 600 sa -690.

$$-5y=-90$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$y=18$$

I-substitute ang 18 para sa y sa 20x+25y=690. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$20x+25\times 18=690$$

I-multiply ang 25 times 18.

$$20x+450=690$$

I-subtract ang 450 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$20x=240$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 20.

$$x=12$$

Nalutas na ang system.

$$x=12,y=18$$