Lutasin ang {l}{x+y=220}{2/5x=3/8y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 2 } { 5 } x = \frac { 3 } { 8 } y - 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=100$$

$$y=120$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{3}{8}y mula sa magkabilang dulo.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=220$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+220$$

I-substitute ang -y+220 para sa x sa kabilang equation na \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5.

$$\frac{2}{5}\left(-y+220\right)-\frac{3}{8}y=-5$$

I-multiply ang \frac{2}{5} times -y+220.

$$-\frac{2}{5}y+88-\frac{3}{8}y=-5$$

Idagdag ang -\frac{2y}{5} sa -\frac{3y}{8}.

$$-\frac{31}{40}y+88=-5$$

I-subtract ang 88 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{31}{40}y=-93$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{31}{40}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=120$$

I-substitute ang 120 para sa y sa x=-y+220. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-120+220$$

Idagdag ang 220 sa -120.

$$x=100$$

Nalutas na ang system.

$$x=100,y=120$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{3}{8}y mula sa magkabilang dulo.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{8}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&-\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\\-\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}&\frac{40}{31}\\\frac{16}{31}&-\frac{40}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}\times 220+\frac{40}{31}\left(-5\right)\\\frac{16}{31}\times 220-\frac{40}{31}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=100,y=120$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{3}{8}y mula sa magkabilang dulo.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Para gawing magkatumbas ang x at \frac{2x}{5}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang \frac{2}{5} at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=\frac{2}{5}\times 220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Pasimplehin.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

I-subtract ang \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5 mula sa \frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

Idagdag ang \frac{2x}{5} sa -\frac{2x}{5}. Naka-cancel out ang term na \frac{2x}{5} at -\frac{2x}{5} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

Idagdag ang \frac{2y}{5} sa \frac{3y}{8}.

$$\frac{31}{40}y=88+5$$

Idagdag ang 88 sa 5.

$$\frac{31}{40}y=93$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{31}{40}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=120$$

I-substitute ang 120 para sa y sa \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}\times 120=-5$$

I-multiply ang -\frac{3}{8} times 120.

$$\frac{2}{5}x-45=-5$$

Idagdag ang 45 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{2}{5}x=40$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{2}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=100$$

Nalutas na ang system.

$$x=100,y=120$$