Lutasin ang {l}{x+y=204}{2/3y=3/4x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 204 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 3 } { 4 } x } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=96$$

$$y=108$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{3}{4}x mula sa magkabilang dulo.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=204$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+204$$

I-substitute ang -y+204 para sa x sa kabilang equation na -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0.

$$-\frac{3}{4}\left(-y+204\right)+\frac{2}{3}y=0$$

I-multiply ang -\frac{3}{4} times -y+204.

$$\frac{3}{4}y-153+\frac{2}{3}y=0$$

Idagdag ang \frac{3y}{4} sa \frac{2y}{3}.

$$\frac{17}{12}y-153=0$$

Idagdag ang 153 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{17}{12}y=153$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{17}{12}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=108$$

I-substitute ang 108 para sa y sa x=-y+204. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-108+204$$

Idagdag ang 204 sa -108.

$$x=96$$

Nalutas na ang system.

$$x=96,y=108$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{3}{4}x mula sa magkabilang dulo.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}&-\frac{12}{17}\\\frac{9}{17}&\frac{12}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\times 204\\\frac{9}{17}\times 204\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}96\\108\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=96,y=108$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang \frac{3}{4}x mula sa magkabilang dulo.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Para gawing magkatumbas ang x at -\frac{3x}{4}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -\frac{3}{4} at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-\frac{3}{4}\times 204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Pasimplehin.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

I-subtract ang -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 mula sa -\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

Idagdag ang -\frac{3x}{4} sa \frac{3x}{4}. Naka-cancel out ang term na -\frac{3x}{4} at \frac{3x}{4} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

Idagdag ang -\frac{3y}{4} sa -\frac{2y}{3}.

$$-\frac{17}{12}y=-153$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{17}{12}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=108$$

I-substitute ang 108 para sa y sa -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\times 108=0$$

I-multiply ang \frac{2}{3} times 108.

$$-\frac{3}{4}x+72=0$$

I-subtract ang 72 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{3}{4}x=-72$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{3}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=96$$

Nalutas na ang system.

$$x=96,y=108$$