Lutasin ang {l}{x+y=200}{x/9+y/49/200=8/100}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 200 } \\ { \frac { \frac { x } { 9 } + \frac { y } { 49 } } { 200 } = \frac { 8 } { 100 } } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{657}{5} = 131\frac{2}{5} = 131.4$$

$$y = \frac{343}{5} = 68\frac{3}{5} = 68.6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 200, ang least common multiple ng 200,100.

$$\frac{x}{9}+\frac{y}{49}=2\times 8$$

Para magdagdag o mag-subtract ng mga expression, i-expand ang mga iyon para gawing magkakapareho ang mga denominator ng mga ito. Ang least common multiple ng 9 at 49 ay 441. I-multiply ang \frac{x}{9} times \frac{49}{49}. I-multiply ang \frac{y}{49} times \frac{9}{9}.

$$\frac{49x}{441}+\frac{9y}{441}=2\times 8$$

Dahil may parehong denominator ang \frac{49x}{441} at \frac{9y}{441}, pagsamahin ang mga ito sa pamamagitan ng pagsasama sa mga numerator ng mga ito.

$$\frac{49x+9y}{441}=2\times 8$$

I-multiply ang 2 at 8 para makuha ang 16.

$$\frac{49x+9y}{441}=16$$

Hati-hatiin ang bawat termino ng 49x+9y sa 441 para makuha ang \frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+y=200,\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+y=200$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-y+200$$

I-substitute ang -y+200 para sa x sa kabilang equation na \frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16.

$$\frac{1}{9}\left(-y+200\right)+\frac{1}{49}y=16$$

I-multiply ang \frac{1}{9} times -y+200.

$$-\frac{1}{9}y+\frac{200}{9}+\frac{1}{49}y=16$$

Idagdag ang -\frac{y}{9} sa \frac{y}{49}.

$$-\frac{40}{441}y+\frac{200}{9}=16$$

I-subtract ang \frac{200}{9} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{40}{441}y=-\frac{56}{9}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{40}{441}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{343}{5}$$

I-substitute ang \frac{343}{5} para sa y sa x=-y+200. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{343}{5}+200$$

Idagdag ang 200 sa -\frac{343}{5}.

$$x=\frac{657}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{657}{5},y=\frac{343}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 200, ang least common multiple ng 200,100.

$$\frac{x}{9}+\frac{y}{49}=2\times 8$$

Para magdagdag o mag-subtract ng mga expression, i-expand ang mga iyon para gawing magkakapareho ang mga denominator ng mga ito. Ang least common multiple ng 9 at 49 ay 441. I-multiply ang \frac{x}{9} times \frac{49}{49}. I-multiply ang \frac{y}{49} times \frac{9}{9}.

$$\frac{49x}{441}+\frac{9y}{441}=2\times 8$$

Dahil may parehong denominator ang \frac{49x}{441} at \frac{9y}{441}, pagsamahin ang mga ito sa pamamagitan ng pagsasama sa mga numerator ng mga ito.

$$\frac{49x+9y}{441}=2\times 8$$

I-multiply ang 2 at 8 para makuha ang 16.

$$\frac{49x+9y}{441}=16$$

Hati-hatiin ang bawat termino ng 49x+9y sa 441 para makuha ang \frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+y=200,\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{9}&\frac{1}{49}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{49}}{\frac{1}{49}-\frac{1}{9}}&-\frac{1}{\frac{1}{49}-\frac{1}{9}}\\-\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{49}-\frac{1}{9}}&\frac{1}{\frac{1}{49}-\frac{1}{9}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{40}&\frac{441}{40}\\\frac{49}{40}&-\frac{441}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{40}\times 200+\frac{441}{40}\times 16\\\frac{49}{40}\times 200-\frac{441}{40}\times 16\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{657}{5}\\\frac{343}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{657}{5},y=\frac{343}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 200, ang least common multiple ng 200,100.

$$\frac{x}{9}+\frac{y}{49}=2\times 8$$

Para magdagdag o mag-subtract ng mga expression, i-expand ang mga iyon para gawing magkakapareho ang mga denominator ng mga ito. Ang least common multiple ng 9 at 49 ay 441. I-multiply ang \frac{x}{9} times \frac{49}{49}. I-multiply ang \frac{y}{49} times \frac{9}{9}.

$$\frac{49x}{441}+\frac{9y}{441}=2\times 8$$

Dahil may parehong denominator ang \frac{49x}{441} at \frac{9y}{441}, pagsamahin ang mga ito sa pamamagitan ng pagsasama sa mga numerator ng mga ito.

$$\frac{49x+9y}{441}=2\times 8$$

I-multiply ang 2 at 8 para makuha ang 16.

$$\frac{49x+9y}{441}=16$$

Hati-hatiin ang bawat termino ng 49x+9y sa 441 para makuha ang \frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+y=200,\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Para gawing magkatumbas ang x at \frac{x}{9}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang \frac{1}{9} at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{9}y=\frac{1}{9}\times 200,\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

Pasimplehin.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{9}y=\frac{200}{9},\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16$$

I-subtract ang \frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16 mula sa \frac{1}{9}x+\frac{1}{9}y=\frac{200}{9} sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\frac{1}{9}x-\frac{1}{9}x+\frac{1}{9}y-\frac{1}{49}y=\frac{200}{9}-16$$

Idagdag ang \frac{x}{9} sa -\frac{x}{9}. Naka-cancel out ang term na \frac{x}{9} at -\frac{x}{9} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{1}{9}y-\frac{1}{49}y=\frac{200}{9}-16$$

Idagdag ang \frac{y}{9} sa -\frac{y}{49}.

$$\frac{40}{441}y=\frac{200}{9}-16$$

Idagdag ang \frac{200}{9} sa -16.

$$\frac{40}{441}y=\frac{56}{9}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{40}{441}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{343}{5}$$

I-substitute ang \frac{343}{5} para sa y sa \frac{1}{9}x+\frac{1}{49}y=16. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{49}\times \frac{343}{5}=16$$

I-multiply ang \frac{1}{49} times \frac{343}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$\frac{1}{9}x+\frac{7}{5}=16$$

I-subtract ang \frac{7}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{9}x=\frac{73}{5}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$x=\frac{657}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{657}{5},y=\frac{343}{5}$$